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Il piano inclinato è un esempio di macchina semplice ed è un modello utilizzato per studiare il moto di un corpo su un piano, liscio o scabro, inclinato rispetto all'asse di riferimento orizzontale di un angolo assegnato. E’ una macchina semplice costituita da una superficie piana disposta in modo da formare un angolo maggiore di 0° e minore di 90° rispetto alla verticale, rappresentata dalla direzione in cui si esplica la forza di gravità, che viene determinata attraverso un filo a piombo, poggiato dinanzi ad un goniometro che mostra l’angolo di pendenza del piano. Il piano inclinato può essere senza attrito o con attrito.

Si tratta di un modello che coinvolge la forza peso e la forza d'attrito, e che richiede l'utilizzo dei diagrammi delle forze. Lo schema del piano inclinato è un classico delle applicazioni e degli esercizi di Dinamica: si tratta sostanzialmente di considerare un corpo - tipicamente un blocco con una determinata massa - collocato su un piano inclinato di un certo angolo rispetto al piano orizzontale, e di studiare le implicazioni dinamiche di una configurazione di questo tipo. Di norma si considerano due modelli di moto lungo un piano inclinato: il primo caso che si affronta è quello del piano inclinato senza attrito, che permette uno studio semplificato del moto. Il secondo, ben più realistico e più aderente alla realtà, è quello del piano inclinato con attrito. In questa lezione riportiamo tutte le considerazioni relative al caso del piano inclinato senza attrito, proponendone la definizione, le formule e un esempio svolto.

L'agente che “tira” il corpo verso il basso è naturalmente la forza peso. Sappiamo d'altronde che la forza peso è sempre perfettamente verticale.

Scomponiamo la forza peso nelle due componenti lungo gli assi cartesiani, in modo da trovare una componente lungo l'asse x che chiamiamo Fpx, e un'altra lungo l'asse y che chiamiamo Fpy.

Con questa osservazione i teoremi trigonometrici per i triangoli rettangoli ci permettono di scrivere le seguenti formule relative ai moduli delle componenti della forza peso Fp,x = Fpsin(a) = mg sin(a) Fp,y = Fpcos(a) = mgcos(a)

Legge di conservazione dell'energia L'accelerazione con cui un corpo scende un piano inclinato (la cui direzione è parallela alla superficie del piano stesso) è proporzionale al seno dell'angolo di inclinazione, essendo dovuta alla componente del peso parallela al piano stesso: a = g sin TETA Poiché un corpo scivola lungo il piano inclinato con moto parallelo alla superficie del piano stesso, è conveniente prendere come sistema di riferimento cartesiano un sistema che ha asse a parallelo alla direzione del moto e con verso concorde, e come asse y l'asse perpendicolare alla superficie del piano. Ora è possibile scomporre il vettore velocità lungo le due direzioni sfruttando i teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli. Detto v il modulo della velocità della sfera lungo il piano inclinato, la velocità parallela al piano orizzontale sarà data da: v cos TETA mentre quella perpendicolare, che è poi quella utile alla determinazione della gravità, risulta: v sin TETA Ora, volendo calcolare la velocità in fondo al piano inclinato, per la conservazione dell'energia meccanica, l'energia posseduta dal corpo in fondo al piano sarà tutta energia cinetica, da cui si ricava che la velocità in fondo è:

dove Ek è l'energia cinetica del corpo e m la sua massa. Per il teorema dell'energia cinetica sappiamo che il lavoro compiuto da un corpo, è uguale alla variazione dell'energia cinetica, pertanto, per qualsiasi valore di Ey, possiamo attribuire un lavoro compiuto che, per definizione è: L= F•l Essendo la massa ricavabile dal secondo principio della dinamica: m=F/a otteniamo:

dove: • l è la lunghezza del piano; • g è il valore dell'accelerazione gravitazionale.

In presenza di attrito Nel caso in cui l'attrito non sia trascurabile, l'accelerazione può essere calcolata tenendo conto della componente perpendicolare al piano inclinato. Essa, infatti, è responsabile della presenza dell'attrito, quindi:

dove miu è il coefficiente di attrito statico. Se ora si sommano tutte le accelerazioni, ovvero quella dovuta al peso del corpo e quella dovuta all'attrito, si ottiene l'accelerazione risultante:

In condizioni di equilibrio, l'accelerazione risultante è nulla, pertanto:

È così possibile sfruttare un piano inclinato per determinare il coefficiente d'attrito tra corpo e piano, semplicemente misurando l'angolo oltre il quale il corpo inizia a scendere lungo di esso.

Applicazioni: Nell'ambito del laboratorio, invece, il piano inclinato può essere utilizzato per svolgere esperimenti per la determinazione del valore dell'accelerazione di gravità (ovvero quella grandezza che regola il moto dei corpi verso il centro della Terra). Durante tali esperimenti, si utilizza un piano inclinato ben levigato, lungo il quale si fa scivolare un corpo, anch'esso ben levigato (per minimizzare l'effetto dissipativo dell'attrito) e generalmente di forma sferica o cubica, effettuando misurazioni a vari angoli e con varie masse.

Il dilatometro (anche detto dilatometro lineare), è uno strumento che consente di misurare l'aumento di lunghezza di una sbarretta di qualsiasi materiale. Un dilatometro è composto da una barretta metallica, fissata agli estremi da dei morsetti, un tubo in cui scorre il vapore caldo che riscalda la barretta sovrapposta. Infine, questo strumento è provvisto di un ago sensibile capace di rilevare e misurare il progressivo aumento di lunghezza della barra attraverso una scala graduata.

La formula che ci permette di calcolare la variazione di lunghezza di un corpo sottoposto ad una differenza di temperatura DT (espressa in C° o in K°) è:

dove con DL indichiamo l'allungamento/accorciamento del corpo, con Lo la lunghezza iniziale della barretta alla temperatura T0 e con alfa il coefficiente di dilatazione lineare, che dipende dal materiale considerato, costante per ciascun materiale e determinato sperimentalmente. Entrambe le variazioni vanno calcolate a partire dallo stato iniziale del corpo: la differenza DT è la differenza tra la temperatura finale e la temperatura iniziale, mentre DL è la differenza tra la lunghezza alla temperatura finale e la lunghezza alla temperatura iniziale. Misurati ad un certo istante t, inseriamo L(t) e T(t) nella formula in modo tale da avere:

Una gabbia di Faraday è un contenitore realizzato in materiale capace di condurre l’elettricità che costituisce un sistema isolante per un qualunque campo elettrico a prescindere dalla sua intensità. Formato da una rete o una serie di barre che fungono da conduttori elettrici. Questi assorbono cariche elettrostatiche, o addirittura certi tipi di radiazioni elettromagnetiche, e le distribuiscono intorno all'esterno della gabbia.

Il funzionamento della gabbia di Faraday è spiegabile attraverso il teorema di Gauss: questo ci permette di descrivere la distribuzione di carica elettrica in un conduttore. Quando un oggetto carico entra a contatto con un conduttore, esso lo polarizza in modo tale che sulla superficie di contatto vi siano cariche di segno opposto a quello dell’oggetto carico. Poiché invece le cariche di segno uguale si respingono, esse tendono a portarsi alla massima distanza reciproca, che in questo caso dunque corrisponde alla situazione in cui esse sono concentrate all’estremità opposta del conduttore. Una volta allontanato l’oggetto carico rimarrà nel conduttore una carica di segno uguale a quella originaria dell’oggetto carico. Se la superficie è approssimabile a un conduttore ideale (quale una superficie metallica chiusa), su di essa si determina una superficie equipotenziale, ovvero una superficie in cui il potenziale elettrico è identico in ogni punto, e il campo elettrico all'interno è nullo.

Il dispositivo consiste in un pannello di legno posto verticalmente al piano d’appoggio, usato come sfondo; al quale sono fissate due carrucole, nelle loro gole passa un filo alle cui estremità ed al centro sono fissati dei pesetti. Applicando altri pesetti è possibile effettuare verifiche sulle condizioni di equilibrio delle relative forze peso nei punti ai quali sono applicate, tramite la scomposizione di tali forze secondo le direzioni assegnate per mezzo del filo.

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