Descrizione

Utilizzando il teorema di Gauss dimostreremo che una sfera conduttrice uniformemente carica dà origine ad un campo elettrico il cui vettore di intensità all'esterno della sfera è equivalente a quello prodotta da una carica puntiforme posta al centro della sfera con carica uguale a quella distribuita sulla sfera.

Immagine da Lab2go

Per calcolare il campo elettrico all'esterno, consideriamo una superficie sferica con raggio $R>R_0$, dove $R_0$ è il raggio della sfera conduttrice. Sperimentalmente osserviamo che le linee di forza sono tutte radiali ed uscenti dalla sfera ed inoltre il modulo di $E$, data la simmetria sferica, dipende solo dalla distanza dal centro $r$.

Suddividiamo la superficie della sfera in $n$ superfici elementari $dS$ sufficientemente piccole da poterle approssimare piane. Tale assunzione permette di considerare il campo elettrico sempre costante in modulo, direzione e verso in ogni punto di $dS$.

Ricordiamoci che la normale a ciascuna superficie è sempre parallela alle linee del campo in ogni punto della stessa superficie. Sappiamo che il flusso attraverso ciascuna superficie $dS$ è dato dal prodotto del campo elettrico per la superficie per il coseno dell’angolo formato dal vettore campo elettrico e la normale alla superficie che, essendo paralleli, sarà sempre pari a 1. Perciò il flusso totale sarà dato dalla somma dei flussi parziali, ovvero di ciascun flusso attraverso ciascuna superficie cioè:

$$ \Phi_S(\vec E) = \vec{E_1} \cdot d\vec{S_1} +\dots+\vec{E_n}\cdot d\vec{S_n}=\sum_{i=1}^n \vec{E_i}\cdot d\vec{S_i}=\sum_{i=1}^n E_idS_i; $$

dove nell'ultimo passaggio si è usato che i due vettori sono paralleli come detto. Quindi essendo $E=|\vec{E}|$ costante lo possiamo raccogliere a fattor comune e otteniamo

$$\Phi_S(\vec{E})=\sum_{i=1}^N EdS_i=E\sum_{i=1}^N dS_i= 4\pi E r^2 $$

Ricordando che per il teorema di Gauss il flusso totale uscente dalla sfera è

$$ \Phi_s(\vec{E})=\frac{Q}{\varepsilon} $$,

dove $Q$ è la carica totale. Uguagliando le due relazioni, determiniamo immediatamente quanto vale l'intensità del campo elettrico in ogni punto esterno alla sfera:

$$ E=\frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2} \qquad r>R_0$$.

Per valutare il campo elettrico all'interno del conduttore, possiamo procedere nello stesso modo. Consideriamo però una superficie con raggio $R<R_0$. Per il teorema di Gauss che il flusso totale uscente è nullo, infatti la sfera è conduttrice e in condizioni statiche non è presente alcuna carica o densità di carica interna. Usando ancora che $\Phi=4\pi E r^2$, troviamo

$$ E=0 \qquad r<R_0 $$.

Riportando su un piano cartesiano l'andamento del campo elettrico in funzione della distanza si ottiene:

Andamento del campo elettrico in funzione della distanza dal centro. Immagine da Mineman