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fisica:strumenti:pianoinclinato

LAB2GO Scienza

Piano inclinato

Descrizione

In fisica, per piano inclinato si intende una particolare macchina semplice costituita da una superficie piana disposta in modo da formare un angolo maggiore di 0° e minore di 90° rispetto alla verticale, rappresentata dalla direzione in cui si esplica la forza di gravità.

Esso presenta un filo a piombo con dietro un goniometro che indica il grado di inclinazione della superficie. In corrispondenza del punto più alto del piano è presente un dinamometro che serve a calcolare la forza peso che agisce su un oggetto preso in considerazione (nel nostro caso, un carrellino a ruota in metallo e due piani in legno), mentre sul bordo esterno del piano inclinato si trova un metro che misura la distanza percorsa dal carrello.

Si presume che il piano inclinato sia stato utilizzato per la prima volta dagli antichi Egizi per la realizzazione delle Piramidi di Giza. I più importanti contributi teorici sono da attribuire ai matematici ed astronomi italiani Galileo Galilei (1600 ca.) e, precedentemente, Jordanus Nemorarius (1250 ca.). Già nel De ratione ponderis, Nemorario asseriva che l’accelerazione di un corpo su un piano inclinato aumentava all’aumentare dell’angolo di inclinazione. Studiando il comportamento di un corpo in moto sul piano inclinato, Galilei riuscì a stimare il valore dell’accelerazione gravitazionale che risultò pari a 9,80655$\frac{m}{s^2}$, leggermente inferiore rispetto al valore reale; la differenza era dovuta ad errori sistematici di attrito dinamico e di attrito viscoso. Galilei dimostrò inoltre che il moto di un corpo in caduta libera è indipendente dalla massa.

Leggi Fisiche

Consideriamo un corpo che scende lungo un piano inclinato. Le forze che agiscono su di esso sono tre: la forza peso ($mg$), la forza di attrito tra corpo e piano, che si oppone al movimento ($F_{att}$), e la reazione vincolare (n).


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Scomponendo il problema nelle due direzioni x e y, l’una parallela al piano inclinato, l’altra ortogonale dal diagramma del corpo libero (vedi figura) si ottiene:

  • (x) $mgsin\theta - F_{att} = ma_x$
  • (y) $n-mgcos\theta = 0$ essendo $a_y=0$

dove $m$ è la massa del corpo, $\theta$ l'angolo di inclinazione del piano e $mgsin\theta$ e $mgcos\theta$ sono rispettivamente le componenti parallele e perpendicolare della forza peso $mg$. La forza di attrito è data da $F_{att}=\mu_dn$ dove $\mu_d$ è il coefficiente di attrito dinamico. Dalla seconda equazione si ricava facilmente che $n=mgcos\theta$ e che quindi $F_{att}=\mu_dmgcos\theta$.

A questo punto si può ottenere l'equazione del moto del corpo. Questo si muove di moto uniformemente accelerato (lungo l'asse della x) con un'accelerazione data da:

$$a_x=g(sin\theta-\mu_dcos\theta)$$

Da qui

$$x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}g(sin\theta-\mu_dcos\theta)t^2$$

Si noti che in assenza di forza di attrito, le equazioni ottenute dal diagramma del corpo si riducono a:

  • (x) $mgsin\theta = ma_x$
  • (y) $n-mgcos\theta = 0$ essendo $a_y=0$

da cui l'accelerazione del corpo vale $a_x=gsin\theta$ e quindi l'equazione del moto vale:

$$x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}gsin\theta t^2$$

La condizione di equilibrio di un corpo su di un piano inclinato si verifica quando $a_x=0$, ossia quando:

  • (x) $mgsin\theta - F_{att} = 0$ $\rightarrow$ $mgsin\theta=F_{att}$

da cui essendo $F_{att}=\mu_smgcos\theta$, con $\mu_s$ coefficiente di attrito statico (v=0), si ottiene:

  • Condizione di equilibrio $\rightarrow$ $mgsin\theta=\mu_smgcos\theta$ $\rightarrow$ $\mu_s=tg(\theta)$

Da questa relazione si può notare che è possibile sfruttare un piano inclinato per determinare il coefficiente d'attrito tra corpo e piano, semplicemente misurando l'angolo oltre il quale si perde la condizione di equilibrio, ossia $\theta$ oltre il quale il corpo inizia a scendere lungo di esso.

Esperienze

Immagine Lab2Go

Dal punto di vista pratico, il piano inclinato è utilizzato per lo spostamento di corpi impiegando uno sforzo minore rispetto a quello necessario per il loro sollevamento verticale.
Nell'ambito del laboratorio, invece, il piano inclinato può essere utilizzato per svolgere esperimenti per la determinazione del valore dell'accelerazione di gravità (ovvero quella grandezza che regola il moto dei corpi verso il centro della Terra) o del coefficiente di attrito statico tra il corpo e il piano.

Sono possibili diverse configurazioni sperimentali:

  1. Carrello agganciato ad un dinamometro che consente di misurare la componente parallela della forza peso ($mgsin\theta$);
  2. Corpo agganciato ad una molla fissata sulla sommità del piano inclinato;
  3. Sistema composto da una carrucola, un filo e dei pesi. Il carrello viene legato mediante un filo, supposto inestensibile, alla carrucola, bilanciando il suo peso con delle masse.
Applicazioni Descrizione Esperienza
Forza di attritoMantenendo un'angolazione costante e applicando al gancio un dinamometro, collegato a sua volta a dei pesetti di stessa massa ma diverse superfici, è possibile dimostrare la variazione della forza d'attrito in base al materiale della superficie.
A.
Immagine da sites.google


B.

Immagine da sites.google


1. Misura di g , esperienza sulla misura di g dallo studio del moto di puro rotolamento su di un piano inclinato a casa.
2. Equilibrio piano inclinato , studio della condizione di equilibrio di un corpo su un piano inclinato.
3. Misura di $\mu_s$ , misura del coefficiente di attrito statico $\mu_s$ tra un corpo ed un piano inclinato.
4. Misura di g sul piano inclinato, misura della costante di gravità dal moto di un corpo su un piano inclinato al laboratorio
Forza elastica É possibile dimostrare la variazione della costante elastica (K) in base alla massa e all'angolo di inclinazione, requisito è l'applicazione al gancio di un dinamometro collegato ad una massa posta sul piano inclinato.
Moto rettilineo uniformemente accelerato Ponendo un corpo sul piano inclinato è possibile osservare la variazione accelerazione a seconda dell'inclinazione con l'asse orizzontale e della massa del corpo.
Equilibrio su un piano inclinatoApplicando una carrucola al gancio si può osservare l'equilibrio delle forze che agiscono su due corpi, posti uno sulla superficie inclinata e l'altro lungo l'asse verticale, entrambi collegati alla carrucola.
Immagine da web.bo.infn


Sitografia

Link descrizione
Youmath Applicazioni leggi piano inclinato
Wikipedia Applicazioni piano inclinato e derivazioni leggi
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fisica/strumenti/pianoinclinato.txt · Ultima modifica: 2022/04/20 12:09 da giulia.debonis