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Pendolo di Maxwell

Immagine da Treccani

Il pendolo di Maxwell somiglia ad uno yo-yo ed è stato ideato da J. C. Maxwell (1831-1879).
Esso è costituito da un disco nel cui asse di rotazione (perno) vengono avvolti i due fili di sospensione in senso concorde, avendo cura che il perno resti orizzontale.
I due fili sono appesi ad un apposito stativo e le loro estremità inferiori sono ben legate ai lati del perno assiale.
Raggiunta l’altezza desiderata il disco viene lasciato ruotare verso il basso spinto dal suo peso.
Non appena i due fili sono completamente svolti, il disco continua a girare nello stesso senso per inerzia ( o meglio per la conservazione dell'energia cinetica rotazionale) e (come se rimbalzasse) si dirige verso l’alto, riavvolgendo i fili intorno al perno nello stesso senso del caso precedente.
Ma siccome l’energia meccanica non si conserva, esso non raggiungerà il punto di partenza e, dopo essersi fermato, ricomincerà a scendere ruotando nel verso opposto al primitivo. Il tutto si ripeterà più volte fino a che il pendolo infine si fermerà in basso raggiungendo un equilibrio stabile.
Il dispositivo è ben fatto se l’energia cinetica di rotazione è molto più grande dell’energia cinetica di traslazione.
Se i due fili sono inestensibili, quando il moto si inverte (nel punto più basso) si ha una discreta perdita di energia cinetica di traslazione che poi cambierà di segno. Perdita che si somma alle sensibili perdite per attriti.
Se i due fili sono leggermente elastici, a fine corsa una parte dell’energia di traslazione si trasforma in energia elastica per poi subito dopo ritrasformarsi in energia di traslazione verso l’alto.
In entrambi i casi comunque vi è perdita di energia.
Si deve osservare che a fine corsa (cioè nel punto più basso) sia la velocità angolare, sia la velocità di traslazione sono massimi. Così come lo sono non appena ricomincia la salita, per poi annullarsi quando il disco raggiunge la massima altezza rispetto al punto di equilibrio stabile (il punto più basso).
Dunque non c’è alcuna somiglianza con il pendolo, inoltre il moto non è periodico a causa della perdita di energia meccanica. Infatti il tempo di discesa e risalita sarebbe costante solo se l’energia meccanica si conservasse, ma è noto che ciò non accade.
Ricordiamo per inciso che l’energia potenziale locale U dipende dall’altezza rispetto ad un prescelto sistema di riferimento:
U = mgh.
L’energia cinetica di traslazione $E_t$ = $\frac{1}{2}$ m $v ^2$ .
L’energia cinetica di rotazione $E_r$ = $\frac{1}{2}I$ $\omega^2$ .
Dove I è il momento di inerzia del disco.
Però, per capire la cosa che meraviglia subito, cioè la lentezza dei tempi di caduta e risalita, si ricorre proprio alla legge di conservazione dell’energia meccanica e si mostra l’importanza del momento di inerzia del disco nel rallentare l’accelerazione di traslazione a.
Dove entrano in gioco: l’energia potenziale locale, l’energia cinetica di traslazione e quella di rotazione, che implica la conoscenza del momento di inerzia I del disco col suo perno.
La conservazione dell’energia meccanica afferma che, durante la discesa, la somma dell’energia potenziale e cinetica (di traslazione e rotazione) deve essere costante.
Chiamiamo H la lunghezza dei due fili; I il momento di inerzia del disco col perno assiale (di non facile misura indiretta per la difficile reperibilità della formula teorica adatta); h la posizione del baricentro del disco; m la sua massa; r il suo raggio; v(h) la sua velocità di traslazione; $\omega$ (h) la sua velocità angolare.
Scegliamo come riferimento il fine corsa per cui h= H quando il disco è nella posizione più alta, e h = 0 quando è nella posizione più bassa.
L’energia potenziale iniziale si trasforma in energia cinetica di rotazione e traslazione alla fine della discesa (un istante prima dell’inversione del moto).
Per ogni punto della discesa si può scrivere:
mgh = $\frac{1}{2}$ m $v^2$ + $\frac{1}{2}$ I $\omega ^2$ = $\frac{1}{2}$ m (1 + $\frac{I }{m r ^2}$) $v^2$ = $\frac{1}{2}$ mk $v^2$
la cui soluzione è la seguente:
v(h)= $\sqrt{\frac{2gh}{1 +\frac {I}{m r ^2} }}$ = $\sqrt{ 2 (\frac{g}{k})h}$ = = $\sqrt{2ah}$
Dove abbiamo chiamato a il rapporto g/k.
Notevole è la somiglianza con la formula della velocità finale di un corpo in caduta libera in assenza d’aria o di altri impedimenti.
Il coefficiente k = 1 + I/ m $r^2$ è il fattore di riduzione della accelerazione a rispetto al caso di caduta libera e il coefficiente I/ m $r^2$ è pari al rapporto tra energia cinetica di rotazione e quella di traslazione.
Infatti:
($\frac{1}{2}$ I $\omega ^2$) / ($\frac{1}{2} m v^2$) = ($\frac{1}{2} I v^2/{r ^2}$)/($\frac{1}{2}$ m $v^2$) = I/ m $r^2$

Per avere la conferma che a = g/k si esegue la derivata di v(h) rispetto al tempo si ottiene appunto l’accelerazione di discesa.
a=$\frac{dv(h)}{dt }$=$\frac{dv(h)}{dh}$ $\frac{dh}{dt}$= $\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2g}{1 +\frac {I}{m r^2} }}$ $h^{(-1/2)} v(h)$= $\frac{g}{k}$
Per approfondire l’argomento si consiglia di consultare l’articolo all’indirizzo: https://www.fisica.uniud.it/irdis/Meccanica/pdf/MaxwellAIF.pdf

Esperienze

Esperienze possibili Descrizione
Calcolo del momento di inerzia di un disco Momento di inerzia

Sitografia

Link Descrizione
Energia meccanica pendolo di Maxwell Pagina Wikipedia
Pendolo di Maxwell Esempio di applicazione del principio di conservazione dell'energia meccanica.
Momento d'inerzia Calcolo momento di inerzia del disco
YoutubeVideo completo funzionamento pendolo
TreccaniImmagine di Pendolo di Maxwell
fisica/strumenti/pendolo_di_maxwell.txt · Ultima modifica: 2024/05/29 12:57 da fabio.panfili