Schematizzazione del pendolo semplice Wikipedia

Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un filo inestensibile e da una massa puntiforme ($m$) fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale. Questo sistema apparentemente banale è stato reso celebre dall'impegno di Galileo Galilei che ne ha correttamente descritto la proprietà principale, ovvero l'isocronismo.

Quando viene applicata una forza alla massa essa oscilla attorno al suo punto di equilibrio, cioè l'altezza minima. Il moto della massa in questo tipo di struttura è di natura armonica, come in quello dell'oscillazione di una massa fissata ad una molla.

È formato da un supporto rigido a forma di T e da una massa appesa ad un’asta o ad un filo di massa trascurabile. Quando la massa viene messa in moto, essa oscilla attorno al suo punto di equilibrio ovvero il punto in cui la posizione dell’asta o del filo è perfettamente verticale e di conseguenza la massa è all’altezza minima. La formula per calcolare il periodo (tempo impiegato per compiere un'oscillazione completa) del pendolo è la seguente:

$$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$$

Grazie a questa formula si può ricavare la costante di gravità sulla terra (pari a 9.81$\frac{N}{Kg}$) esplicitando dalla formula il valore di $g$: $$g=4\pi^2\frac{l}{T^2}$$

Esempio di pendolo semplice. Immagine Lab2go.

La formula del periodo è giustificata dalle equazioni della dinamica: mostriamo infatti che per piccole oscillazioni il sistema è assimilabile a un oscillatore armonico. Volendo ricavare il periodo delle oscillazioni possiamo scrivere le equazioni di Newton per la massa in direzione centripeta e tangenziale:

$$\begin{cases} ma_{c}=\tau-mg\cos \theta \\ ma_{t}=-mg\sin \theta \end{cases} $$

Notando che il moto è circolare, per l’accelerazione centripeta $\left ( a_{c}=l\ddot{\theta} \right )$ e l'accelerazione tangenziale, $a_t=l\left(\dot{\theta}\right)^2$, si ottiene:

$$\begin{cases} ml\left(\dot{\theta}\right)^2=\tau-mg\cos\theta \\ ml\ddot{\theta}=-mg\sin \theta \end{cases}$$

Per angoli piccoli (piccole oscillazioni) si ha $\sin\theta\approx\theta$ e la seconda equazione fornisce l’equazione del moto del pendolo:

$$l\ddot{\theta}=-g\theta\Rightarrow \ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0$$

formalmente identica all’equazione di un moto armonico. L’integrale generale del moto è:

$$\theta\left ( t \right )=\theta_{max}\cos\left ( \sqrt{\frac{g}{l}}t+\phi_{0} \right )=\theta_{max}\cos \left ( \omega t+\phi_{0}\right )$$

dove $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ è detta pulsazione del moto. Le costanti di integrazione, ampiezza massima e fase iniziale, si ottengono imponendo posizione e velocità iniziali. Il periodo $T$ delle (piccole) oscillazioni si ricava facilmente dalla pulsazione:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

È possibile notare che l'equazione non dipende dalla massa $m$ appesa, ma solamente dall'accelerazione gravitazionale $g$ e dalla lunghezza del filo $l$ (isocronismo delle oscillazioni).

Per mettere in evidenza il fenomeno dell'isocronismo si può utilizzare un pendolo triplo. In questo caso sullo stesso supporto sono fissati tre diversi pendoli: utilizzando la stessa lunghezza del filo ma diversi pesi agganciati si può verificare che le oscillazioni sono indipendenti dalla massa utilizzata; allo stesso modo, si possono osservare tre periodi diversi utilizzando lunghezze differenti.

Il pendolo bifilare è costituito da una sferrata metallica sospesa mediante due fili. Se lo si mette in oscillazione e la piattaforma sulla quale è fissato il sostegno viene fatta ruotare, si può verificare che il piano di oscillazione del pendolo non subisce variazioni. Infatti se nel contenitore viene messa della sabbia e si fa ruotare la piattaforma, la traccia lasciata dalla sabbia sulla base sembra ruotare in senso inverso. Può servire anche a dimostrare il moto armonico di un pendolo, spostando un cartoncino con moto uniforme. In questo caso il piano di oscillazione è individuato dai due fili che sorreggono la massa. Questo strumento tuttavia, presenta delle difficoltà sulla misura della lunghezza, data dalla distanza tra il centro di massa della sfera (coincidente con il suo centro geometrico) e la retta individuata dai due punti di sospensione del filo. Tale misura può portare a un errore sistematico che si riversa nella stima dell'accelerazione di gravità, $g$.

Esempio di pendolo triplo. Immagine Lab2go.

Esempio di pendolo bifilare. Immagine Lab2go.