Descrizione

Il pendolo è una struttura formata da una massa puntiforme appesa ad un'asta o ad un filo inestendibile di massa trascurabile. Quando viene applicata una forza alla massa, essa oscilla attorno al suo punto di equilibrio, cioè l'altezza mininima.
Il moto della massa in questo tipo di struttura è di natura armonica, come in quello dell'oscillazione di una massa fissata ad una molla. Un'esperienza che si puo realizzare è quella di misurare il periodo di oscillazione di un pendolo con l'aiuto di un cronometro.

Calcolare il periodo del pendolo e la sua lunghezza. La costante di gravità si ricava esplicitando questa dalla formula precedente: $$g=4\pi^2\frac{T^2}{l}$$

Questa formula è giustificata dalle equazioni della dinamica: mostriamo infatti che per piccole oscillazioni il sistema è assimilabile a un oscillatore armonico. Volendo ricavare il periodo delle oscillazioni possiamo scrivere le equazioni di Newton per la massa in direzione centripeta e tangenziale:

$$\begin{cases} ma_{c}=\tau-mg\cos \theta \\ ma_{t}=-mg\sin \theta \end{cases} $$

Notando che il moto è circolare, per l’accelerazione centripeta $\left ( a_{c}=l\ddot{\theta} \right )$ e l'accelerazione tangenziale, $a_t=l\left(\dot{\theta}\right)^2$, si ottiene:

$$\begin{cases} ml\left(\dot{\theta}\right)^2=\tau-mg\cos\theta \\ ml\ddot{\theta}=-mg\sin \theta \end{cases}$$

Per angoli piccoli (piccole oscillazioni) si ha $\sin\theta\approx\theta$ e la seconda equazione fornisce l’equazione del moto del pendolo:

$$l\ddot{\theta}=-g\theta\Rightarrow \ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0$$

formalmente identica all’equazione di un moto armonico. L’integrale generale del moto è

$$\theta\left ( t \right )=\theta_{max}\cos\left ( \sqrt{\frac{g}{l}}t+\phi_{0} \right )=\theta_{max}\cos \left ( \omega t+\phi_{0}\right )$$

dove $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ e detta pulsazione del moto. Le costanti di integrazione (ampiezza massima e fase iniziale) si ottengono imponendo posizione e velocità iniziali. Il periodo $T$ delle (piccole) oscillazioni si ricava facilmente dalla pulsazione:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

e come si vede non dipende dalla massa m appesa, ma solamente dall'accelerazione gravitazionale $g$ e dalla lunghezza del filo $l$ (isocronismo delle oscillazioni).

E' formato da un supporto rigido a forma di T, un filo inestensibile di nilon e da una massa appesa ad un’asta o ad un filo di massa trascurabile. Quando viene fatta oscillare la massa, essa oscilla attorno al suo punto di equilibrio, in cui la posizione dell’asta o del filo è perfettamente verticale e di conseguenza la massa è all’altezza minima. Il moto della massa è di natura armonica, come in quello dell’oscillazione di una massa agganciata ad una molla. La formula per calcolare il periodo (tempo impiegato per compiere un'oscillazione completa) del pendolo è la seguente

$$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$$

Grazie a questa formula riusciamo a calcolarci la costante di gravità sulla terra (pari a 9.81 N\Kg) esplicitandoci dalla formula il valore di g.

Esempio pendolo semplice

Per vedere bene il fenomeno dell'isocronismo si può utilizzare un pendolo triplo: In questo caso sullo stesso supporto sono tre diversi pendoli. Si può quindi verificare che le oscillazioni sono indipendenti dalla massa utilizzata, utilizzando la stessa lunghezza del filo ma diversi pesi agganciati. Allo stesso modo si possono osservare tre periodi diversi utilizzando lunghezze differenti.

Esempio pendolo triplo

Questo è, come illustrato in figura, costituito da una sferetta metallica sospesa con due catenine ai due estremi di un supporto metallico agganciato alla trave di sostegno del pendolo. La lunghezza $l$ del pendolo è data dalla distanza tra il centro di massa della sfera (coincidente con il suo centro geometrico) e la retta individuata dai due punti di sospensione del filo. Le dimensioni della sferetta sono minori della lunghezza del pendolo.

In questo caso il piano di oscillazione è individuato dai due fili che sorreggono la massa. Questo strumento tuttavia, presenta delle difficoltà sulla misura della lunghezza: infatti bisogna tenere in considerazione della semi-dimensioni della massa: questa può portare a un errore sistematico che si riversa nella stima dell'accelerazione di gravità, $g$ .