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LAB2GO Scienza

Il Pendolo

Descrizione

Schematizzazione del pendolo semplice Wikipedia

Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un filo inestensibile e da una massa puntiforme ($m$) fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale.
Questo sistema apparentemente banale è stato reso celebre da Galileo Galilei che ne ha correttamente descritto la proprietà principale, ovvero l'isocronismo.

molla.

Pendolo semplice

Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un filo inestensibile, perfettamente flessibile e senza peso e da una massa puntiforme ($m$) fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale. Il pendolo tende a rimanere nella posizione di equilibrio: il filo è diretto ortogonalmente rispetto a terra e la massa si trova all'altezza minima dal piano di appoggio. Se applichiamo una forza iniziale che sposta il pendolo dalla sua posizione di equilibrio questo cercherà di tornare in tale posizione iniziando ad oscillare intorno ad essa. Se l'angolo associato allo spostamento iniziale è minore di $5^\circ$ rispetto alla verticale, possiamo assumere valida l'ipotesi di piccole oscillazioni. Il movimento che si ottiene è un moto oscillatorio chiamato armonico. Infatti, assumendo che il moto avvenga costantemente nel piano verticale iniziale, sotto le ipotesi di piccole oscillazioni, trascurando: a) gli attriti e la resistenza dell'aria, b) le forze cosiddette fittizie come la forza centrifuga e la forza di Coriolis (dovute alla rotazione della Terra) c) la massa del filo, si può dimostrare che il periodo $T$ è $$T= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ dove:

  • $L$ equivale alla lunghezza del filo che collega il peso all'asta di sostegno orizzontale;
  • $T$ è il periodo di oscillazione

Grazie a questa formula (che vale per piccole oscillazioni) si può ricavare l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre (pari a 9.81$\frac{N}{kg}$) esplicitando dalla formula il valore di $g$: $$g=4\pi^2\frac{l}{T^2}$$

Equazione dinamica e calcolo del periodo

Esempio di pendolo semplice. Immagine Lab2go.

La formula del periodo è giustificata dalle equazioni della dinamica: mostriamo infatti che per piccole oscillazioni il sistema è assimilabile a un oscillatore armonico. Volendo ricavare il periodo delle oscillazioni possiamo scrivere le equazioni di Newton per la massa in direzione centripeta e tangenziale:

$$\begin{cases} ma_{c}=\tau-mg\cos \theta \\ ma_{t}=-mg\sin \theta \end{cases} $$

Notando che il moto è circolare, per l’accelerazione centripeta $\left ( a_{c}=l\ddot{\theta} \right )$ e l'accelerazione tangenziale, $a_t=l\left(\dot{\theta}\right)^2$, si ottiene:

$$\begin{cases} ml\left(\dot{\theta}\right)^2=\tau-mg\cos\theta \\ ml\ddot{\theta}=-mg\sin \theta \end{cases}$$

Per angoli piccoli (piccole oscillazioni) si ha $\sin\theta\approx\theta$ e la seconda equazione fornisce l’equazione del moto del pendolo:

$$l\ddot{\theta}=-g\theta\Rightarrow \ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0$$

formalmente identica all’equazione di un moto armonico. L’integrale generale del moto è:

$$\theta\left ( t \right )=\theta_{max}\cos\left ( \sqrt{\frac{g}{l}}t+\phi_{0} \right )=\theta_{max}\cos \left ( \omega t+\phi_{0}\right )$$

dove $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ è detta pulsazione del moto. Le costanti di integrazione, ampiezza massima e fase iniziale, si ottengono imponendo posizione e velocità iniziali. Il periodo $T$ delle (piccole) oscillazioni si ricava facilmente dalla pulsazione:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

È possibile notare che l'equazione non dipende dalla massa $m$ appesa, ma solamente dall'accelerazione gravitazionale $g$ e dalla lunghezza del filo $l$ (isocronismo delle oscillazioni).

Altri tipi di pendolo

Pendolo triplo

Per mettere in evidenza il fenomeno dell'isocronismo si può utilizzare un pendolo triplo. In questo caso sullo stesso supporto sono fissati tre diversi pendoli: utilizzando la stessa lunghezza del filo ma diversi pesi agganciati si può verificare che le oscillazioni sono indipendenti dalla massa utilizzata; allo stesso modo, si possono osservare tre periodi diversi utilizzando lunghezze differenti.

Pendolo bifilare

Il pendolo bifilare è costituito da una sferrata metallica sospesa mediante due fili. Se lo si mette in oscillazione e la piattaforma sulla quale è fissato il sostegno viene fatta ruotare, si può verificare che il piano di oscillazione del pendolo non subisce variazioni. Infatti se nel contenitore viene messa della sabbia e si fa ruotare la piattaforma, la traccia lasciata dalla sabbia sulla base sembra ruotare in senso inverso. Può servire anche a dimostrare il moto armonico di un pendolo, spostando un cartoncino con moto uniforme. In questo caso il piano di oscillazione è individuato dai due fili che sorreggono la massa. Questo strumento tuttavia, presenta delle difficoltà sulla misura della lunghezza, data dalla distanza tra il centro di massa della sfera (coincidente con il suo centro geometrico) e la retta individuata dai due punti di sospensione del filo. Tale misura può portare a un errore sistematico che si riversa nella stima dell'accelerazione di gravità, $g$.

Esempio di pendolo triplo. Immagine Lab2go.
Esempio di pendolo bifilare. Immagine Lab2go.


Pagine dedicate ad altri tipi di pendolo

Pagina Lab2Go Tipo di pendolo
Lab2Go Descrizione del pendolo di Newton
Lab2Go Descrizione del pendolo di Kater
Lab2Go Descrizione del pendolo di Maxwell
Lab2Go Descrizione del pendolo di Waltenhofen

Esperienze

Esperienze possibili Descrizione
Misura accelerazione di gravità Tecniche di misura dell'accelerazione di gravità con studio dell'errore
Confronto del periodo di oscillazione Confronto del periodo di oscillazione del pendolo ricavato tramite un cronometro e tramite la formula

Esperienze @Home

Esperienze possibili a casa Descrizione
Misura di g Misura dell'accelerazione di gravità
Periodo del pendolo semplice Misura del periodo del pendolo semplice

Schede didattiche

Schede Didattiche Descrizione
Schede didattiche pendolo semplice Raccolta delle varie schede didattiche

Sitografia

Link Descrizione
Wikipedia Schematizzazione del pendolo semplice
Youtube Video esperienza pendolo con smartphone, funzionamento del pendolo semplice
YouMath Illustrazione teoria pendolo
Istituto nazionale di fisica nucleare Considerazioni sperimentali presa dati pendolo bifilare
WikipediaImmagine di Pendolo Semplice
fisica/strumenti/pendolo.txt · Ultima modifica: 2022/05/21 17:45 da fabio.panfili