Schematizzazione del pendolo semplice Wikipedia

Il pendolo semplice è un sistema ideale costituito da un filo inestensibile, di cui una estremità è appesa ad un sostegno, e da una massa puntiforme ($m$) fissata all'altra sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale.
Questo sistema apparentemente banale è stato reso celebre da Galileo Galilei che ne ha correttamente descritto la proprietà principale, ovvero l'isocronismo.

Il pendolo semplice è un sistema ideale costituito da un filo inestensibile, perfettamente flessibile e senza peso e da una massa puntiforme ($m$) fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale. Il pendolo tende a rimanere nella posizione di equilibrio: il filo è diretto nella direzione e nel verso della forza peso e la massa si trova all'altezza minima dal piano di riferimento scelto sotto questa posizione. Se applichiamo una forza iniziale che sposta il pendolo dalla sua posizione di equilibrio questo cercherà di tornare in tale posizione iniziando ad oscillare intorno ad essa. Se l'angolo associato allo spostamento iniziale è minore di $5^\circ$ rispetto alla verticale, possiamo assumere valida l'ipotesi di piccole oscillazioni. Il movimento che si ottiene è un moto oscillatorio chiamato armonico. Infatti, assumendo che il moto avvenga costantemente nel piano verticale iniziale, sotto le ipotesi di piccole oscillazioni, trascurando: a) gli attriti e la resistenza dell'aria, b) le forze cosiddette fittizie come la forza centrifuga e la forza di Coriolis (dovute alla rotazione della Terra) c) la massa del filo, si può dimostrare che il periodo $T$ è $$T= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ dove:

• $L$ equivale alla lunghezza del filo che collega il peso all'asta di sostegno orizzontale;
• $g$ è l'accelerazione di gravità;
• $T$ è il periodo di oscillazione

Grazie a questa formula (che vale per piccole oscillazioni) si può ricavare l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre (pari a 9.81$\frac{N}{kg}$) esplicitando dalla formula il valore di $g$: $$g=4\pi^2\frac{l}{T^2}$$

Esempio di pendolo semplice. Immagine Lab2go.

La formula del periodo è giustificata dalle equazioni della dinamica: mostriamo infatti che per piccole oscillazioni il sistema è assimilabile a un oscillatore armonico. Volendo ricavare il periodo delle oscillazioni possiamo scrivere le equazioni di Newton per la massa in direzione centripeta e tangenziale:

$$\begin{cases} ma_{c}=\tau-mg\cos \theta \\ ma_{t}=-mg\sin \theta \end{cases} $$

Notando che il moto è circolare, per l’accelerazione centripeta $\left ( a_{c}=l\ddot{\theta} \right )$ e l'accelerazione tangenziale, $a_t=l\left(\dot{\theta}\right)^2$, si ottiene:

$$\begin{cases} ml\left(\dot{\theta}\right)^2=\tau-mg\cos\theta \\ ml\ddot{\theta}=-mg\sin \theta \end{cases}$$

Per angoli piccoli (piccole oscillazioni) si ha $\sin\theta\approx\theta$ e la seconda equazione fornisce l’equazione del moto del pendolo:

$$l\ddot{\theta}=-g\theta\Rightarrow \ddot{\theta}+\frac{g}{l}\theta=0$$

formalmente identica all’equazione di un moto armonico. L’integrale generale del moto è:

$$\theta\left ( t \right )=\theta_{max}\cos\left ( \sqrt{\frac{g}{l}}t+\phi_{0} \right )=\theta_{max}\cos \left ( \omega t+\phi_{0}\right )$$

dove $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ è detta pulsazione del moto. Le costanti di integrazione, ampiezza massima e fase iniziale, si ottengono imponendo posizione e velocità iniziali. Il periodo $T$ delle (piccole) oscillazioni si ricava facilmente dalla pulsazione:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

È possibile notare che l'equazione non dipende dalla massa $m$ appesa, ma solamente dall'accelerazione gravitazionale $g$ e dalla lunghezza del filo $l$ (isocronismo delle oscillazioni).

Per mettere in evidenza il fenomeno dell'isocronismo si può utilizzare un pendolo triplo. In questo caso sullo stesso supporto sono fissati tre diversi pendoli: utilizzando la stessa lunghezza del filo ma diversi pesi agganciati si può verificare che le oscillazioni sono indipendenti dalla massa utilizzata; allo stesso modo, si possono osservare tre periodi diversi utilizzando lunghezze differenti.

Il pendolo bifilare è costituito da una sferetta metallica sospesa mediante due fili. Se lo si mette in oscillazione e la piattaforma sulla quale è fissato il sostegno viene fatta ruotare, si può verificare che il piano di oscillazione del pendolo non subisce variazioni. Infatti, se nel contenitore viene messa della sabbia e si fa ruotare la piattaforma, la traccia lasciata dalla sabbia sulla base sembra ruotare in senso inverso. Può servire anche a dimostrare il moto armonico di un pendolo, spostando un cartoncino con moto uniforme. In questo caso il piano di oscillazione è individuato dai due fili che sorreggono la massa. Questo strumento tuttavia, presenta delle difficoltà sulla misura della lunghezza, data dalla distanza tra il centro di massa della sfera (coincidente con il suo centro geometrico) e la retta individuata dai due punti di sospensione del filo. Tale misura può portare a un errore sistematico che si riversa nella stima dell'accelerazione di gravità, $g$.

Esempio di pendolo triplo. Immagine Lab2go.

Esempio di pendolo bifilare. Immagine Lab2go.