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Introduzione
Esiste una versione alternativa per misurare g senza necessariamente distruggere i vostri smartphone. Lo scopo di questa esperienza è lo studio del moto di rotolamento di un cilindro lungo un piano inclinato dal quale poi verrà ricavata la misura dell’accelerazione di gravità. L'esperimento è una variante semplificata di quello fatto fare dal prof. Santanastasio nel corso di Laboratorio di Meccanica 2019/20.
Strumenti necessari | Descrizione |
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smartphone | deve essere installata l'applicazione PhyPhox * |
piano inclinato di angolo variabile | asse da stiro o scatola rigida, per esempio |
cilindro cavo | diametro pari o poco superiore a quello dello smartphone. Per esempio un barattolo o un tubo di cartone rigido |
bilancia da cucina | dotata di una buona risoluzione |
righello o riga | dotato di una buona risoluzione |
pc | utile per analisi dati e per connessione a distanza con lo smartphone |
Ecco un esempio di setup iniziale
Per la realizzazione di questo esperimento è necessario seguire questi step:
Prima di eseguire una misura di velocità angolare è necessario attivare la connessione a distanza tra pc e smartphone seguendo queste istruzioni. Si dovrà infatti controllare l’acquisizione dei dati (start, stop, esportazione dei dati) direttamente dal pc dal momento che lo smartphone si trova dentro il cilindro ed il suo display non è accessibile.
Per quanto riguarda la sequenza di base di una misura ecco un video del Prof. Giovanni Organtini.
Assicurandosi che il barattolo non si trascini lungo il piano, si ottiene un moto di puro rotolamento dove il punto O del cilindro a contatto con il piano inclinato è fisso istante per istante nel sistema di riferimento inerziale del laboratorio, solidale con il piano stesso.
Equazioni del moto:
$Mgsin(θ) − Fa = M · a_{CM} $
$ Fa · R = I_{CM} · α $
con
Risolvendo il sistema si ottiene l’accelerazione angolare costante $$ \alpha = \frac{MgR}{I_{CM}+MR^2} sin(\theta) $$
Essendo l’accelerazione costante, la velocità angolare per un corpo che rotola partendo da fermo al tempo t0 = 0 varia linearmente nel tempo: $\omega(t) = \alpha t$
La relazione lineare che lega α a sin(θ) è $$ \alpha = m · sin(θ) + c $$
dove $ m = \frac{MgR}{I_{CM} + MR^2} $
Momenti d’inerzia notevoli di corpi rigidi omogenei rispetto al proprio centro di massa:
In sintesi quindi per ricavare g basterà quindi estrarre 2 coefficienti angolari da 2 grafici (velocità angolare vs t, accelerazione angolare vs sen($\theta$), stimare correttamente le masse, le lunghezze, i momenti d'inerzia e saper applicare delle semplici formule inverse :).
Che cos'è il momento d'inerzia? Per una spiegazione visiva vi rimandiamo al link che trovate a fine pagina in sitografia. In breve il momento d'inerzia è la proprietà di un corpo di opporsi alla rotazione. Se definiamo la massa inerziale come la capacità di un corpo di opporsi ad un accelerazione lineare, possiamo dire che il momento d'inerzia è l'analogo per i moti rotatori. Il momento d'inerzia si calcola rispetto all'asse di rotazione: far ruotare un'asta attorno al proprio centro di massa sarà certamente più semplice rispetto a farla ruotare attorno ad un estremo (per l'esattezza è 1/3 di essa). Ai nostri fini occorrerà fare alcune approssimazioni: pensate al barattolo come un anello, allo smartphone come una sbarra (attenzione però! Attorno a quale asse va fatta ruotare?) e la carta come un cilindro (trovate tutti i momenti d'inerzia rispetto ai propri centri di massa su wikipedia ). Una volta che avrete scelto i momenti d'inerzia appropriati, il momento totale sarà dato dalla somma dei momenti d'inerzia.
Riportiamo di seguito alcuni accorgimenti che possono rendere l'esperimento di più facile esecuzione.
* PhyPhox ( Android, iOS). Questa app usa: sensore di prossimità, accelerometro, giroscopio; i dati possono essere visualizzati in grafici o in tabelle.
Link | Descrizione |
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https://www.roma1.infn.it/~santanas/index.php | Sito del prof.Santanastasio |
https://www.roma1.infn.it/people/organtini/ | Sito del prof.Organtini |
Schede didattiche | Descrizione |
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Rotolamento puro su piano inclinato | breve spiegazione esaustiva del moto in questione |
Momento d'inerzia | breve spiegazione esaustiva del momento d'inerzia |