Introduzione

Esiste una versione alternativa per misurare g senza necessariamente distruggere i vostri smartphone. Lo scopo di questa esperienza è lo studio del moto di rotolamento di un cilindro lungo un piano inclinato dal quale poi verrà ricavata la misura dell’accelerazione di gravità. L'esperimento è una variante semplificata di quello fatto fare dal prof. Santanastasio nel corso di Laboratorio di Meccanica 2019/20.

Ecco un esempio di setup iniziale

Per la realizzazione di questo esperimento è necessario seguire questi step:

• Installare sullo smartphone l’applicazione PHYPHOX.
• Verificare il funzionamento del sensore ”Giroscopio” in PHYPHOX per la misura diretta delle velocità angolari lungo gli assi x,y,z dello smartphone (per la convenzione degli assi fare riferimento al sito web PHYPHOX).
• Verificare il funzionamento dello strumento ”Inclinazione: PIANO” in PHYPHOX per la misura diretta degli angoli di un piano inclinato.

Prima di eseguire una misura di velocità angolare è necessario attivare la connessione a distanza tra pc e smartphone seguendo queste istruzioni. Si dovrà infatti controllare l’acquisizione dei dati (start, stop, esportazione dei dati) direttamente dal pc dal momento che lo smartphone si trova dentro il cilindro ed il suo display non è accessibile.

Per quanto riguarda la sequenza di base di una misura ecco un video del Prof. Giovanni Organtini.

• Si posiziona il piano con un certo angolo.
• Si misura l’angolo di inclinazione del piano con lo smartphone (es. tramite lo strumento ”Inclinazione: PIANO”). Fare misure ripetute in diversi punti del piano per tenere in conto di eventuali avvallamenti e/o non-uniformità.
• Si posiziona il cilindro fermo ad una certa altezza lungo il piano.
• Si fa partire l’acquisizione del giroscopio utilizzando il controllo remoto dal pc. Si lascia che il cilindro inizi a rotolare da fermo e si interrompe la presa dati al termine della corsa. E possibile anche fare più misure in sequenza senza fermare l’acquisizione dati.
• Si esportano i dati raccolti tramite il giroscopio (velocità angolare lungo gli assi x, y e z [rad/s] in funzione del tempo [s] dall’inizio della presa dati) in formato csv sul pc.
• In questa configurazione, le velocità angolari $ω_x$ ed $ω_z$ dovrebbero essere trascurabili rispetto ad $ω_y$, ovvero la velocità angolare lungo l’asse y di rotazione del cilindro.
• Si ricava l'accelerazione angolare prendendo una porzione di grafico ove la velocità angolare ha un andamento lineare nel tempo: il coefficiente angolare trovato sarà la vostra accelerazione angolare. Per ottenere il grafico sarà necessaria una lezione dove verrà spiegato come esportare i file csv in python e come ottenere un grafico in python.
• Si ripete la sequenza per le successive misure.

1. Eseguire misure di accelerazione angolare α come descritto precedentemente a diversi angoli θ del piano.
2. Fare un grafico di α in funzione di sin(θ) (a mano o su Python).
3. Eseguire un fit lineare al grafico per estrarre una stima del coefficiente angolare e del termine noto. La relazione tra l'accelerazione angolare e il seno dell'angolo è infatti lineare, come verrà spiegato in seguito.
4. Misurare le dimensioni ed il peso di tutti i componenti del corpo rigido che rotola (cilindro + smartphone + carta + etc..).
5. Fornire una stima del momento d’inerzia del sistema rispetto al proprio centro di massa.
6. Determinare l’accelerazione di gravità g.

Assicurandosi che il barattolo non si trascini lungo il piano, si ottiene un moto di puro rotolamento dove il punto O del cilindro a contatto con il piano inclinato è fisso istante per istante nel sistema di riferimento inerziale del laboratorio, solidale con il piano stesso.

Equazioni del moto:

$Mgsin(θ) - Fa = M · a_{CM} $

$ Fa · R = I_{CM} · α $

con

• g accelerazione di gravità
• M massa totale del sistema in rotazione (es. cilindro + smartphone).
• R raggio del cilindro.
• Fa forza di attrito.
• α accelerazione angolare = $\frac{d\omega}{dt}=\frac{a_{CM}}{R}$
• θ angolo del piano inclinato.
• $a_{CM}$ accelerazione del centro di massa del sistema (lungo il piano inclinato).
• $I_{CM}$ momento d’inerzia del sistema rispetto al centro di massa coincidente con il centro della circonferenza del cilindro.
• $\omega$ velocità angolare del cilindro.

Risolvendo il sistema si ottiene l’accelerazione angolare costante $$ \alpha = \frac{MgR}{I_{CM}+MR^2} sin(\theta) $$

Essendo l’accelerazione costante, la velocità angolare per un corpo che rotola partendo da fermo al tempo t0 = 0 varia linearmente nel tempo: $\omega(t) = \alpha t$

La relazione lineare che lega α a sin(θ) è $$ \alpha = m · sin(θ) + c $$

dove $ m = \frac{MgR}{I_{CM} + MR^2} $

Momenti d’inerzia notevoli di corpi rigidi omogenei rispetto al proprio centro di massa:

• Anello (disco vuoto) di raggio R e massa M: $I = M R^2 $
• Disco pieno di raggio R e massa M: $I = M · \frac{R^2}{2}$
• Rettangolo pieno di lati a e b e massa M: $I = \frac{M(a^2+b^2)}{12}$

In sintesi quindi per ricavare g basterà quindi estrarre 2 coefficienti angolari da 2 grafici (velocità angolare vs t, accelerazione angolare vs sen($\theta$), stimare correttamente le masse, le lunghezze, i momenti d'inerzia e saper applicare delle semplici formule inverse :).

Che cos'è il momento d'inerzia? Per una spiegazione visiva vi rimandiamo al link che trovate a fine pagina in sitografia. In breve il momento d'inerzia è la proprietà di un corpo di opporsi alla rotazione. Se definiamo la massa inerziale come la capacità di un corpo di opporsi ad un accelerazione lineare, possiamo dire che il momento d'inerzia è l'analogo per i moti rotatori. Il momento d'inerzia si calcola rispetto all'asse di rotazione: far ruotare un'asta attorno al proprio centro di massa sarà certamente più semplice rispetto a farla ruotare attorno ad un estremo (per l'esattezza è 1/3 di essa). Ai nostri fini occorrerà fare alcune approssimazioni: pensate al barattolo come un anello, allo smartphone come una sbarra (attenzione però! Attorno a quale asse va fatta ruotare?) e la carta come un cilindro (trovate tutti i momenti d'inerzia rispetto ai propri centri di massa su wikipedia ). Una volta che avrete scelto i momenti d'inerzia appropriati, il momento totale sarà dato dalla somma dei momenti d'inerzia.

Riportiamo di seguito alcuni accorgimenti che possono rendere l'esperimento di più facile esecuzione.

• Il cilindro non deve risultare deformato quando contiene lo smartphone.
• Posizionare lo smartphone in modo che il centro coincida il più possibile con l’asse del cilindro come mostrato nel setup.
• Sia nel caso si scelga di utilizzare una bottiglia o, come consigliamo, un barattolo delle giuste dimensioni, utilizzare della comune carta assorbente da cucina per riempire gli spazi vuoti. Evitate materiali che raccolgono carica elettrostatica. Solo nel caso in cui non si riesca a fissare bene lo smartphone, utilizzare del nastro adesivo (notate che questa operazione, introducendo imperfezioni sulla superficie, potrebbe far deviare la traiettoria).
• Non toccare con le mani lo schermo dello smartphone altrimenti la connessione remota con il pc salterà. Per evitarlo, maneggiare sempre lo smartphone con dei fogli di carta da cucina per evitare il contatto diretto delle mani con il touchscreen.
• Assicurarsi che l’angolo del piano inclinato resti fisso durante tutta la misura, bloccando ad esempio la base con qualcosa di pesante (come mostrato in figura).
• Posizionare qualcosa di morbido (es. un cuscino) alla fine del piano inclinato per evitare che lo smartphone si rovini.
• In una tipica misura, il cilindro viene fatto rotolare partendo da fermo da una certa altezza lungo il piano inclinato. Assicurarsi che il rotolamento avvenga lungo l’asse principale del piano (terminando quindi la sua corsa sul cuscino o, meglio, recuperando a mano il cilindro a fine corsa prima dell’urto) e che il cilindro non cada al di fuori (rischiando quindi di rovinare lo smartphone).
• Assicurarsi anche che il rotolamento sia regolare, senza ”salti”. In quest’ultimo caso verificare che il cilindro resti tale e non si sia deformato e verificare che il telefono sia bene al centro. Usare angoli di almeno 15 gradi per ridurre il fenomeno.
• Considerare angoli del piano tra circa 15 e 35 gradi.

* PhyPhox ( Android, iOS). Questa app usa: sensore di prossimità, accelerometro, giroscopio; i dati possono essere visualizzati in grafici o in tabelle.