E' noto che la relazione che lega il periodo di oscillazione T di un pendolo all'accelerazione di gravità è data dalla relazione: $$T= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ che, opportunamente invertita diventa: $$g=4\pi^2\frac{L}{T^2} \qquad \qquad[1]$$

La precisione con cui si può calcolare $g$ dipende dalla precisione con cui si misurano il periodo $T$ e la lunghezza $L$. Cercheremo, in questa esperienza, di mantenere la precisione di $L$ e di $T$ intorno allo 0,1 %. Per fare questo, una scelta opportuna di lunghezza potrebbe essere intorno a 1m. Partendo dall'equazione [1], applicando la propagazione degli errori, si ottiene l'equazione [2], che permette di capire la precisione di g.

$$\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta L}{L}+2\frac{\Delta T}{T} \qquad \qquad [2]$$

Come si vede dall'equazione [2] più piccoli e simili sono gli errori di $L$ e di $T$, più piccolo è l'errore di $g$.

Per esempio se fosse :

L = (1000±2)mm avremmo :

$\frac{\Delta L}{L}= 2/2000$=2‰ , che è un errore accettabile.

Per poter avere un errore piccolo anche di T è opportuno misurare un grande numero di oscillazioni, poichè anche utilizzando il cronometro c'è l'errore dei riflessi da parte di chi misura. Per esempio, se misuriamo il periodo di 100 oscillazioni :

T=(2,6±0,5)s quindi si ha un errore del 2%, che è più che accettabile.

Un esempio numerico sulla stima dell'accelerazione di gravità utilizzando i seguenti valori del periodo e della lunghezza del pendolo $T = (2.6 ± 0.5)s$, $L = (1.700 ± 0.002) m$ $$g= (4)(3.14)^2\frac{1.7}{6.9}\frac{m}{s^2}\approx 9.46\frac{m}{s^2}$$ $$\Delta g=\left(\frac{2}{1700}+2\frac{5}{16}\right)9.46\frac{m}{s^2}=0.02\frac{m}{s^2}$$

E quindi il risultato finale è $$g=(9.46±0.02)\frac{m}{s^2}$$

Scheda didattica