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fisica:esperienze:periodo_pendolo_semplice

LAB2GO Scienza

Periodo di oscillazione del pendolo nell'approssimazione di piccoli angoli

Descrizione

Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un filo inestensibile, perfettamente flessibile e senza peso e da una massa puntiforme ($m$) fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale. Il pendolo tende a rimanere nella posizione di equilibrio: il filo è diretto ortogonalmente rispetto a terra e la massa si trova all'altezza minima dal piano di appoggio. Se applichiamo una forza iniziale che sposta il pendolo dalla sua posizione di equilibrio questo cercherà di tornare in tale posizione iniziando ad oscillare intorno ad essa. Se l'angolo associato allo spostamento iniziale è minore di $5^\circ$ rispetto alla verticale, possiamo assumere valida l'ipotesi di piccole oscillazioni. Il movimento che si ottiene è un moto oscillatorio chiamato armonico. Infatti, assumendo che il moto avvenga costantemente nel piano verticale iniziale, sotto le ipotesi di piccole oscillazioni, trascurando: a) gli attriti e la resistenza dell'aria, b) le forze cosiddette fittizie come la forza centrifuga e la forza di Coriolis (dovute alla rotazione della Terra) c) la massa del filo, si può dimostrare che il periodo $T$ è $$T= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ dove:

  • $L$ equivale alla lunghezza del filo che collega il peso all'asta di sostegno orizzontale;
  • $T$ è il periodo di oscillazione

È chiaro che l'approssimazione di piccoli angoli è tanto più valida tanto più la perturbazione iniziale è piccola.
Per verificare sperimentalmente questa relazione possiamo misurare il periodo con il cronometro e tale valore sperimentale viene confrontato con il valore teorico atteso. Inoltre potremmo verificare che nell'approssimazioni di piccoli angoli, il periodo del pendolo è isocrono, cioè non dipende dall'ampiezza della perturbazione iniziale ed è indipende dalla massa $m$ appesa al filo.

Esempio di pendolo da usare. Immagine da mlsystems

Misura del periodo

Come prima cosa con un metro si misura la lunghezza $L$. Per diminuire l'incertezza statistica potremmo ripetere più volte la misura di un periodo. Tuttavia si può dimostrare che è più vantaggioso misurare il tempo di oscillazione su più periodi e poi dividere per il numero di oscillazioni al fine di ottenere la misura di un solo periodo. Per esempio, scegliamo di valutare con un cronometro il tempo impiegato dal pendolo per effettuare $10$ oscillazioni e ripetiamo questa misura $5$ volte.

Come detto, la misura che abbiamo ottenuto dalla lettura del valore sul cronometro $T_{10}$ rappresenta il periodo di $10$ oscillazioni e quindi, per ottenere il periodo di una singola oscillazione quello che bisogna fare è dividere per $10$ il periodo $T_{10}$: $$T= {\frac{T_{10}}{10}}$$. Quindi, abbiamo $5$ valori diversi di periodo e effettuando la media fra questi $5$ valori si ottiene la migliore stima del periodo $T$. Chiamiamo questo valore $T_{sper}$. Possiamo associare a questo valore un'incertezza tramite la deviazione standard

$$ \sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^5 \frac{(T_i-T)^2}{5}} $$.

Il valore $T_{sper}$ deve essere confrontato con il valore teorico $T_{teo}$ che può essere calcolato dalla formula riportata nell'introduzione. Un modo semplice, immediato ma efficace, per verificare la validità del modello teorico è stimare il rapporto

$$ \frac{T_{teo}-T_{sper}}{\sigma}. $$

Se questo valore è minore di 3 possiamo dire che il modello teorico è compatibile con il risultato dell'esperimento.
Utilizzando fili di lunghezza diversa possiamo verificare che il periodo del pendolo cambia a seconda della lunghezza $L$. Per esempio potremmo utilizzare un filo di nylon di lunghezza $L_1=(0.4\pm 0.1)\ m$ e un altro di lunghezza $L_2=(0.3\pm 0.1) \ m$. Assumendo l'errore sul tempo pari a $0.1\ s$,si ottengono i risultati riportati in tabella.

Lunghezza filo tempi di 10 oscillazioni tempi di una oscillazione
$(0.4\pm 0.1) \ m$ $(13,3 \pm 0.1)\ s$ $(1.33 \pm 0.01)\ s$
$(0.4\pm 0.1) \ m$ $(13.5 \pm 0.1)\ s$ $(1.35 \pm 0.01)\ s$
$(0.4\pm 0.1) \ m$ $(13.6 \pm 0.1)\ s$ $(1.36 \pm 0.01)\ s$
$(0.4\pm 0.1) \ m$ $(13.7 \pm 0.1)\ s$ $(1.37 \pm 0.01)\ s$
$(0.3\pm 0.1) \ m$ $(11.4 \pm 0.1)\ s$ $(1.14 \pm 0.01)\ s$
$(0.3\pm 0.1) \ m$ $(11.5 \pm 0.1)\ s$ $(1.15 \pm 0.01)\ s$
$(0.3\pm 0.1) \ m$ $(11.5 \pm 0.1)\ s$ $(1.15 \pm 0.01)\ s$
$(0.3\pm 0.1) \ m$ $(11.5 \pm 0.1)\ s$ $(1.15 \pm 0.01)\ s$

Ottenendo i seguenti risultati

Lunghezza filo media oscillazioni pulsazione frequenza
$(0.4\pm 0.1) \ m$$(1.35 \pm 0.01)\ s$ $4.67 \ rad/s$ $0.74 \ Hz$
$(0.3\pm 0.1) \ m$$(1.14 \pm 0.01)\ s$ $5.53 \ rad/s$ $0.88 \ Hz$

Lo stesso esperimento si potrebbe eseguire cambiando però le masse. In questo caso potremmo verificare che il periodo del pendolo non dipende dalla massa del corpo.

Strumenti

Strumenti Descrizione
Pendolo Strumento costituito da un filo inestensibile, attaccato verticalmente ad un piano rigido, e da una massa (m), posta all'estremità del filo.
Cronometro Orologio progettato per avere elevata accuratezza e precisione.
Metro Strumento usato per la misurazione di lunghezze avendo una scala di riferimento espressa in metri.

Sitografia

Google Formula del periodo di un pendolo
Google Formula della frequenza
Lab2Go Link descrizione pendolo semplice
Lab2Go Definizione di oscillazione ed influenza degli errori di misura
YouTube Video riguardante il pendolo


fisica/esperienze/periodo_pendolo_semplice.txt · Ultima modifica: 2022/05/18 16:14 da fabio.panfili