Robert Hooke è stato un fisico, biologo, geologo e architetto inglese. Fu uno dei più grandi scienziati del Seicento e una delle figure chiave della rivoluzione scientifica. È ricordato in particolare per la prima formulazione storica della legge sull'elasticità lineare. Il suo intento era quello di costruire un buon orologio per uso marino. Aveva intuito che un pendolo non sarebbe stato efficace sulle navi visto il forte rollio che subiscono, per questo immaginò di usare delle molle. Già nel 1660, sfruttando le proprietà delle molle, aveva ideato quella che oggi è nota essere la legge di Hooke, enunciata ufficialmente solo nel 1678 nel saggio De potentia restitutiva or of a spring. Il suo progetto rimase sconosciuto fino al 1675 quando Huygens propose un meccanismo simile. Robert Hooke pubblicò il saggio sopracitato come ulteriore conferma della terza legge della dinamica affermata da Isaac Newton, elaborando due principi:

• ogni solido, se sollecitato, si deforma (accorciandosi o allungandosi) e tale deformazione si annulla se si rimuove la sollecitazione;
• questa deformazione consente al solido di sviluppare l’azione opposta alla sollecitazione.

Hooke si accorse che tirando due molle o due fili, entrambi della stessa lunghezza e l’uno con un peso doppio dell’altro, subiranno un allungamento l’uno il doppio dell’altro. Sfuggì, però ad Hooke che l’allungamento significativo non corrisponde a quello assoluto ($l-l_0=\Delta l$) ma a quello relativo alla lunghezza iniziale $l_0$.

$$\epsilon =\frac{l-l_0}{l_0}=\frac{Δl}{l_0}$$

Applicando un carico $P$ il filo si allunga di $\Delta l = l – l_0$; se si applica un carico doppio ($2P$) anche l’allungamento raddoppia $l^\prime – l_0 = 2 \Delta l$. Hooke colse bene questo aspetto. Immagine da edilweb

Applicando un carico P il filo si allunga di $\Delta l=l-l_0$; se si applica un carico doppio (2P) anche l’allungamento raddoppia $\Delta l'=2\Delta l$. Hooke colse bene questo aspetto.

Egli racchiuse le sue scoperte nella celebre frase “ut tensio, sic vis” ovvero “tanta la deformazione, tanta la forza”. Ciò significa che tirando una molla questa si allungherà tanto o poco in base alla forza esercitata su di essa. Applicando invece la stessa forza ad un muro la deformazione di quest’ultimo sarà poco o per niente visibile. La differenza tra le due deformazioni sta nella diversa elasticità dei due materiali.

La legge di Hooke afferma che l’allungamento subìto da un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata. La costante di proporzionalità viene detta costante elastica e dipende dalla natura del materiale stesso. Ogni molla quindi possiede una costante elastica, $K$, che tiene conto di:

• Tipo di materiale usato nella costruzione
• Numero di spire che compongono la molla
• Forma geometrica delle spire

Tanto maggiore è il valore della costante, tanto più la molla è rigida e quindi difficile cercare di allungarla o comprimerla. La direzione della forza è uguale a quella della deformazione ed è sempre rivolta in verso opposto rispetto alla deformazione: se la molla è contratta allora la forza tenderà ad allungare la molla, se allungata la forza tenderà a comprimerla. In maniera vettoriale la forza si esprime nel seguente modo: $$\vec{F}=-K\vec{\Delta l}$$ La dimensione della costante elastica è [$N\cdot m^{-1}$].

Un punto materiale soggetto alla forza di Hooke se messo in moto compie un moto armonico attorno alla lunghezza a riposo, con pulsazione $\omega$ pari a $$\omega^2=\frac{K}{m}$$ con $m$ indicante la massa del punto materiale.

La legge di Hooke porta a potenziale armonico della seguente forma: $$U(x)=\frac{1}{2}K\Delta l^2$$

A livello miscroscopico l'accumulo di energia potenziale si può spiegare tramite lo stiramento dei legami intermolecolari.

Consideriamo un sistema costituito da una molla posta verticalmente sorretta da un asta metallica a cui è giunta tramite un morsetto. Un corpo di massa $m$ all'equilibrio in presenza di un campo gravitazionale costante, tipo quello terrestre, $\vec{g}$, la posizione d'equilibrio è data dalla seguente relazione: $$K\Delta l=mg$$ Procediamo nel seguente modo

1. misuriamo la lunghezza della molla a riposo;
2. applichiamo (alla molla) una massa nota e misuriamo lo spostamento;
3. riportiamo in una tabella i dati ottenuti per diverse tensioni applicate;
4. costruiamo un grafico con lo spostamento sull'asse delle ordinate e la forza esercitata sulla molla sull'asse delle ascisse riportando su questa i dati sperimentali.

Possiamo ottenere un prima stima di $K$ la seguente relazione: $$K=\frac{gm}{\Delta l}.$$ L'errore associato alla stima della costante, $\Delta K$, è quindi, indicando con $\Delta \bar{l}$ l'errore associato alla deformazione: $$\Delta K=K\left(\frac{\Delta \bar{l}}{\Delta l}+\frac{\Delta m}{m}\right)$$. Possiamo procedere alternativamente per via grafica. Si nota che l'andamento dei punti è ben approssimato da una retta passante per l'origine: il rapporto tra la massa e lo spostamento sono costanti. Questo permette anche di verificare che la legge di Hooke è effettivamente valida. La costante di proporzionalità $C$ è data da

$$\frac{\Delta l}{m}=C\qquad C\equiv\frac{g}{K}$$ Stimando $C$ possiamo facilmente calcolare $K$.
Un esperimento simile si può realizzare avendo a disposizione un dinamometro. Sostituiamo la molla con un dinamometro e in questo caso possiamo graficare sull'asse delle $y$ la forza e sull'asse $x$ l'allungamento. Si ottiene ancora una relazione lineare, dove la pendenza è:

$$K=\frac{F}{\Delta l}$$

dove $\Delta l$ è ancora lo spostamento subito dalla molla. Da questa proporzionalità si ricava infatti proprio la legge di Hooke che è infatti $F=k\Delta l$, a cui si aggiunge un meno per indicare che il verso di questa forza è opposto a quello dello spostamento. Così diviene proprio:

$$\vec{F}=-k\vec{\Delta l}.$$

Grafico che evidenzia la validità della legge di Hooke. Immagine da chimicaonline

Un punto materiale in moto soggetto alla forza di Hooke compie un moto armonico la cui pulsazione, $\omega$ è data da: $$\omega=\sqrt{\frac{K}{m}}$$ Il periodo di oscillazione è quindi: $$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}$$

Misurando il periodo di oscillazione attraverso un cronometro, nota la massa è possibile ricavare la costante elastica: $$K=4\pi^2\frac{m}{T^2}$$ L'errore associato alla stima della costante elastica è: $$\Delta K=K\left(\frac{\Delta m}{m}+2\frac{\Delta T}{T}\right)$$

Utilizzando masse diverse e misurando ogni volta il periodo possiamo ottenere stime indipendenti di $K$. La miglior stima di $K$ si può ottenere facendo la media aritmetica. Un modo solitamente più accurato di procedere è per via grafica, effettuando una regressione lineare per trovare la costante elastica. Infatti, la relazione che lega $T^2$ e la massa $m$ è lineare. Più precisamente è una retta passante per l'origine con coefficiente angolare $$m=\frac{4\pi^2}{k}.$$ Un ulteriore accorgimento è quello di diminuire l'errore sul periodo effettuando una misura del tempo di più oscillazioni. Per esempio, possiamo misurare il tempo di 20 oscillazioni e poi dividere per il numero di oscillazioni osservate, così da ottenere la misura del singolo periodo. Un esempio di misure effettuate è riportato nella tabella e nel grafico sotto.

Tabella esemplificativa di misure di periodo e relativa costante elastica.Lab2go

Grafico che mostra l'andamento lineare del periodo al quadrato in funzione della massa. Dall coeffieciente angolare della retta possiamo stimare $K$. Immagine Lab2go

Una possibile alternativa all'uso del cronometro è il sensore di posizione di Arduino che permette di ottenere il grafico della posizione in funzione del tempo, consentendo di stimare il periodo $T$ come distanza temporale fra due creste (vedi pagina moto armonico). Il sensore di posizione può essere posto in modo tale che il piano di osservazione sia ortogonale a quello di oscillazione della molla. Al fine di ampliare la sezione sensibile e diminuire errori dovuti ad una non perfetta oscillazione verticale, possiamo attaccare alla molla un cartoncino. Un esempio di setup sperimentale con queste caratteristiche è mostrato nella figura di sinistra, mentre a destra è riportato uno schema dei collegamenti per il funzionamento di Arduino.

Esempio di setup sperimentale.Immagine Lab2go.

Schema dei collegamenti per il funzionamento di Arduino. Immagine Alibaba.com.

Di seguito viene riportato anche un esempio di codice da caricare su Arduino per il funzionamento del sensore.

#include "SR04.h"
#define TRIG_PIN 12
#define ECHO_PIN 11
SR04 sr04 = SR04(ECHO_PIN,TRIG_PIN);
long a;
void setup() {
   Serial.begin(9600);
   delay(1000);
}
void loop() {
   a=sr04.Distance();
   Serial.println(a);
   delay(100);
}

In questo caso viene effettuata una misura ogni $100 \ ms$.
Questo tipo di apparato sperimentale si può usare per calcolare anche l'accelerazione di gravità.

I tool di simulazione di PhET (PhET) curato dall’Università del Colorado consentono l’esplorazione del sistema fisico massa e molla per indagare:

1. Legge di Hooke (Phet: legge di Hooke)
2. Massa e molla e moto oscillatorio (PhET: massa e molla e moto oscillatorio)

Nel primo caso come rappresentato in Fig. 1.A si possono impostare:

• costante elastica $k$,
• forza applicata.

Il tool consente di visualizzare la variazione della lunghezza della molla per raggiungere l’equilibrio, i vettori relativi alla forza applicata e quella elastica ecc.. Nel secondo caso, raffigurato in Fig. 1.B, il set-up per la simulazione consente di impostare:

• costante elastica $k$,
• massa del corpo vincolato all’estremità della molla,
• accelerazione di gravita, per simulare la gravità di altri pianeti,
• smorzamento.

Il tool consente quindi la visualizzazione della dinamica oscillatoria del sistema massa-molla, determinato dallo spostamento del corpo rispetto al punto di equilibrio, con la possibilità di attivare effetti di slow-motion. Sono a disposizione del laboratorio virtuale righello e cronometro. La possibilità di visualizzare grandezze (vettoriali quali accelerazione e velocità e scalari quali le energie) facilita l’analisi e lo studio del fenomeno oscillatorio. Il tool può essere utilizzato in una fase preliminare per fare delle previsioni sul comportamento del sistema favorendo discussioni di gruppo. L’osservazione del moto al simulatore consente quindi il confronto e l’ulteriore discussione.

Setup per la configurazione dei laboratori virtuali:legge di Hooke. Immagine daPhET

Setup per la configurazione dei laboratori virtuali:moto oscillatorio per sistema massa-molla. Immagine daPhET

Il tool per lo studio del moto oscillatorio del sistema massa-molla è stato utilizzato per la misura della costante elastica della molla. Strumenti necessari:

• Righello,
• diverse masse di valore conosciuto,
• cronometro,

Procedura di misura:

• Appendere la massa alla molla libera di oscillare liberamente impostando lo smorzamento nullo, spostare la massa dalla sua posizione di equilibrio (il riferimento a zero del righello in Fig. 2), misurare il tempo necessario a compiere una decina di oscillazioni e quindi calcolare il periodo $T$.
• Ripetere la misura al variare della massa $m$.
• Riportare su di un grafico $T^2$ in funzione di $m$ e calcolare la costante della molla $k$ dal coefficiente angolare della retta ottenuta dato che $T^2=4\pi^2\frac{m}{k}$.

Setup per la misura della costante elestica k di una molla con il metodo dinamico. Immagine daPhET

Oltre a quelli descritti nella tabella relativa alla misura statica, per la misura dinamica è necessario utilizzare un cronometro. Se si preferisce usare Arduino sono necessari i seguenti strumenti