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fisica:esperienze:metodo_di_eulero

LAB2GO Scienza

Il Metodo di Eulero

Descrizione

Il Metodo di Eulero è una procedura matematica impiegata nella risoluzione di equazioni differenziali ordinarie. Deve il suo nome a Leonhard Euler che presentò nel 1768, nel suo “Institutionum Calculi Integralis”, il metodo di esecuzione di questo sistema di calcolo. Il Metodo di Eulero ha il compito di sostituire alla curva soluzione dell’equazione che non si è in grado di determinare, un’approssimazione formata da segmenti di rette tangenti a tale curva, come mostrato in figura:

Dunque la nostra equazione differenziale, può essere definita da una legge secondo la quale il coefficiente angolare del nostro segmento di retta tangente alla curva, non cambi significativamente da un segmento all’altro. La curva ottenuta disegnando le rette tangenti, non è diversa di quella iniziale e l’errore introdotto è piuttosto modesto per curve sufficientemente “dolci”. Abbiamo utilizzato il Metodo di Eulero per individuare le curve (posizione, accelerazione e velocità) ottenuta dall’oscillazione di una molla, frutto di una sperimentazione compiuta in laboratorio. Per effettuare tale calcolo è necessario considerare i seguenti dati:

- il periodo dell'oscillazione (è preferibile effettuare più misurazioni del periodo in questa fase) e si divide quest'ultimo in intervalli discreti Δt.

- Le accelerazioni sono da considerare costanti in ogni singolo intervallo.

- lo spostamento va calcolato considerando la velocità alla fine dell’intervallo.

Per l’oscillatore armonico libero, una volta impostate le condizioni iniziali x0=x(0) e v0= v(0), le formule da implementare sono le seguenti:

L’esperimento eseguito in laboratorio ha previsto l’utilizzo di alcune molle dalla differente costante elastica (k) e di alcune masse da 100g, 200g e 300g. Collegando le masse alla molla è stato misurato, attraverso l'aiuto di un cronometro, il periodo di dieci oscillazioni per tre volte. I valori ottenuti sono stati inseriti in un foglio di calcolo che ha facilitato, attraverso le sue funzioni, la determinazione della MEDIA, dell' ERRORE e del periodo di una SINGOLA OSCILLAZIONE.

Una volta eseguite le procedure descritte e mostrate dalle figure in alto, si procede nel calcolo della costante elastica applicando l'equazione adatta, derivante dalla formula del calcolo del periodo di un moto armonico:

Calcolata la costante elastica ed essendo in possesso di tutti i dati utili, abbiamo applicato il Metodo di Eulero a tale esperimento con il fine di ricavare le curve (posizione, accelerazione e velocità) ottenute dall’ oscillazione periodica della molla. Le curve sono individuate automaticamente dal foglio di calcolo che elabora i relativi grafici dopo aver disposto i dati nelle celle.

E' necessario attenersi ai dati richiesti dalle istruzioni per sviluppare un modello fedele al Metodo di Eulero. Una volta ottenute le curve, non resta che approssimare queste ultime ai segmenti tangenti, come spiegato nella descrizione iniziale. Quest’ultimo passaggio viene effettuato individuando gli intervalli sull’asse delle ordinate e sull’asse delle ascisse il cui rapporto sarà uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva , ovvero al valore approssimato della velocità, dell’accelerazione e dello spazio in quel determinato intervallo di tempo :

Il procedimento teorico rappresentato dalle formule riportate, una volta applicato per ogni intervallo scelto, fornirà l’andamento dei 3 parametri (velocità, accelerazione, spazio) approssimato al segmento di retta tangente alla curva. Ottenuti tutti i segmenti può essere definito completato il processo di calcolo e approssimazione eseguito con l’applicazione del Metodo di Eulero. In assenza di dati sperimentali da ottenere in laboratorio è possibile far riferimento ad un programma web di simulazione delle fondamentali condizioni fisiche. In questa situazione potrebbe essere utile considerare il link .

Strumenti

Strumenti necessari Descrizione
linkmolle

Sitografia

Link Descrizione
linkSito simulazioni Università Colorado


fisica/esperienze/metodo_di_eulero.txt · Ultima modifica: 2020/06/12 10:27 da angelo.loffredo