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fisica:esperienze:leggi_di_ohm

LAB2GO Scienza

Leggi di Ohm

Le leggi di Ohm, il cui nome è dovuto al fisico tedesco Georg Simon Ohm, legano la resistenza elettrica alle caratteristiche del circuito e del conduttore stesso. I corpi si dividono in due grandi categorie: conduttori ed isolanti. Le due leggi di Ohm valgono generalmente per tutti i metalli e le loro leghe, ma solo se essi sono mantenuti a temperatura costante. Infatti la loro resistività varia con la temperatura.

Prima legge di Ohm

La prima legge di Ohm afferma che la differenza di potenziale, $V$, applicata ai capi di un conduttore ohmico è direttamente proporzionale all'intensità di corrente $I$ che lo attraversa:

$$V=RI.$$

La costante di proporzionalità $R$ si chiama resistenza e si misura in ohm ($\Omega$). I componenti elettrici che seguono questa legge prendono il nome di resistori.

Seconda legge di Ohm

La resistenza dipende da alcune caratteristiche fisiche e geometriche del conduttore, come la resistività $\rho$, la lunghezza $l$ e la sezione $S$. L'esempio più semplice è quello in cui il conduttore è composto da un solo materiale, ha sezione costante e il flusso di corrente al suo interno è omogeneo, cioè non dipende dal punto dello spazio che consideriamo, e stazionario, cioè non dipende dal tempo. In questo caso, la resistività è legata alla resistenza dalla seguente relazione detta seconda legge di Ohm: $$R=\frac{\rho l}{S}$$

Spesso è comodo usare l'inverso della resistività elettrica che chiamiamo conducibilità elettrica.

Esperienze

Prima legge

Di seguito vengono proposte due possibili esperienze legate alla prima legge di Ohm.

Materiali utilizzati

Strumento Descrizione
Generatore di tensione Elemento circuitale
Resistori Elemento circuitale
Breadboard Elemento di supporto che consente la realizzazione del circuito
Due multimetri Strumento di misura di tensione, corrente elettrica e resistenza
Fili conduttori Elemento circuitale


Verifica della prima legge di Ohm

Esempio di circuito con due multimetri per la misura di resistenza. Immagine Lab2Go

Usando un tester digitale misuriamo i valori della tensione erogata dal generatore di bassa tensione continua, mettendo il primo multimetro, funzionante come voltmetro, con valore di fondo scala 20 V, in parallelo al generatore stesso. Questo dunque è il metodo con voltmetro a monte nel gergo degli elettrotecnici. Avendo a disposizione due fili di nichel-cromo e costantana, scegliamo un filo (per esempio il nichel-cromo).
Impostato il selettore del secondo multimetro come amperometro (con fondoscala iniziale a 20 mA), lo si mette in serie alla resistenza in modo tale da misurare la stessa corrente che attraversa il resistore.
I collegamenti sono realizzati tramite gli appositi cavi di collegamento (per collegamenti in serie e in parallelo consultare la pagina circuiti elettrici).
Si fa quindi aumentare di volta in volta la tensione erogata dal generatore, tramite la manopola a scatti, e si annotano i valori di tensione e di corrente. Con l'avvertenza di aumentare la portata fondo scala dell'amperometro. In questa fase, si faccia attenzione alla possibilità di sottoporre la resistenza ad una corrente troppo elevata. Infatti, per effetto Joule la resistenza può surriscaldarsi e l'aumento della temperatura cambia il valore di resistività, come si è detto all'inizio. Questi valori vengono annotati su una apposita tabella. Poi si disegna un diagramma in cui l'asse y corrisponde alla tensione misurata e l'asse x alla corrente e si riportano i valori della tabella: il coefficiente angolare della retta rappresenta la resistenza. In genere comunque è uso mettere in ascissa la tensione scelta e in ordinata la corrente ottenuta. Di seguito vengono raccolte in tabella le incertezze associate ai valori misurati. Propagando le incertezze su $V$ e $i$ si può ottenere l'incertezza su $R$, tramite la formula [non valida in questo caso; nota del correttore]

$$\Delta R=R\sqrt{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2+\left(\frac{\Delta i}{i}\right)^2}$$ La formula riportata sopra, con qualche modifica essenziale, vale per la propagazione dell'errore nel caso di una funzione dipendente da più variabili. Al correttore di questa pagina risulta una formula molto più semplice:
ΔR / R = ΔV / V + Δi / i
la cui dimostrazione è rinvenibile al sito: https://meetheskilled.com/propagazione-dellerrore/

NICHELCROMO (0,70mm)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(Ω)$
0,6 0,5 0,10 0,05 6,0
1,5 0,5 0,22 0,05 6,8
2,4 0,5 0,45 0,05 5,3
3,4 0,5 0,68 0,05 5,0
5,3 0,5 1,08 0,05 4,4
7,2 0,5 1,44 0,05 5,0

COSTANTANA (0,35mm)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(Ω)$
2,4 0,5 0,06 0,05 40,0
3,4 0,5 0,12 0,05 25,0
3,9 0,5 0,17 0,05 22,9
5,5 0,5 0,35 0,05 15,7
7,4 0,5 0,52 0,05 14,2
11,2 0,5 0,74 0,05 15,1

[Seconda nota del correttore: i valori delle tensioni riportati in tabella non sono attendibili poiché, dalla precedente descrizione, si deduce che sono stati misurati “a vuoto” da chi ha materialmente svolto la misura e non “sotto carico”, come attualmente è stata descritta la procedura ed è stata opportunamente corretta la prima foto].

Realizziamo un grafico dei valori della corrente in funzione della differenza di potenziale ottenendo la curva tensione-corrente caratteristica del componente conduttore scelto.
Osserviamo che i punti sono quasi allineati perciò, tenuto conto delle incertezze associate ai valori riportate nel grafico, ne deduciamo che il resistore utilizzato segue la legge di Ohm.

Risoluzione di un circuito e confronto risultati teorici e sperimentali

Si assembla un circuito ad esempio come quello in figura

Esempio di circuito. Immagine da LAB2GO.

per realizzarlo possiamo prendere due breadboards, che possono essere unite per formare un'unica grande breadboard attraverso gli appositi incastri posti sui loro lati. In questo modo, avremo a disposizione una base per il circuito più grande e, di conseguenza, più spazio per i vari elementi del circuito. Si prendano successivamente quattro diverse resistenze ohmiche e, attraverso la classificazione del Codice Colori, si calcolino i valori nominali di ciascuna resistenza. Di seguito un esempio di tabella di quattro resistenze, il loro codice colore e il relativo valore nominale

Resistenza $1^\circ$Banda $2^\circ$Banda Moltiplicatore Tolleranza
$R_1$ marrone grigio rosso oro
$R_2$ marrone grigio rosso oro
$R_3$ giallo viola rosso oro
$R_4$ marrone grigio arancione oro

Dopo aver calcolato i diversi valori nominali, occorre calcolare la tolleranza di ciascuna resistenza (pari sempre al 5%): in questo modo otterremo il valore minimo e il valore massimo entro i quali il valore dovrà rientrare. Se si usano resistori di potenza si possono leggere direttamente i valori espressi in numeri.

Il valore misurato è determinato utilizzando un multimetro in funzione di ohmmetro: per misurare la resistenza di un resistore occorre attaccare agli estremi di ogni singola resistenza i morsetti del multimetro, che, una volta tarato sulle basi del valore nominale (ad esempio, se la mia resistenza ha un valore nominale di 1800 Ω dovrò impostare il multimetro come ohmmetro di portata 2000 Ω) mostrerà il valore della resistenza. Dopo essersi accertati che i valori misurati delle resistenze rientrino in quelli nominali si può cominciare a costruire il circuito.

Il circuito, costruito su due breadboards collegate, è alimentato da un generatore di tensione, che applica al circuito una differenza di potenziale pari a $\Delta V=15 V$. I morsetti del generatore sono collegati a due fili conduttori posti rispettivamente nel foro positivo e negativo agli estremi delle due breadboards: in questo modo il circuito (a corrente continua) è chiuso. Le resistenze $R_3$ ed $R_4$, al fine di verificare la legge di Ohm in diverse situazioni, vengano poste in parallelo tra loro ed in serie con $R_1$ ed $R_2$. Così facendo, le resistenze $R_3$ ed $R_4$ avranno ai loro capi medesima differenza di potenziale ma scorrerà in loro diversa intensità di corrente, mentre $R_1$ ed $R_2$ avranno ai capi diverse differenze di potenziale ma scorrerà in loro la stessa intensità di corrente (per maggiori dettagli su resistenze in serie e in parallelo si veda la pagina circuiti elettrici). Per montare il circuito si prosegua nel seguente modo: venga posto un filo conduttore sul foro positivo della riga collegata cinque-a-cinque verticalmente; successivamente si metta un capo della resistenza $R_1$ in corrispondenza verticale del foro positivo del primo filo conduttore e l'altro capo nei fori collegati cinque-a-cinque orizzontalmente. Un filo conduttore va successivamente posto come ponte tra uno dei fori adiacenti al secondo capo di $R_1$ e un altro foro della breadboard; adiacente a quest'ultimo foro si ponga un capo della resistenza $R_2$, la cui altra estremità verrà posta in uno dei fori della seconda breadboard. Da qui un secondo filo conduttore, adiacente a $R_2$, venga posto in una riga dove vengono collegate (allo stesso livello) $R_3$ ed R4; le due resistenze sono così collegate in parallelo. Per chiudere il circuito, basta ricollegare le due resistenze $R_3$ ed $R_4$ in una medesima riga orizzontale e far partire da lì un filo conduttore che colleghi questo punto alla riga cinque-a-cinque verticale negativa, alla fine della quale verrà posto un ultimo filo conduttore. Per dare corrente al circuito, basta collegare i morsetti del generatore di tensione ai fili conduttori iniziale e finale, posti nei fori cinque-a-cinque verticali positivi e negativi. Inoltre, stando alla prima legge di Kirchhoff, per la quale la somma algebrica delle intensità di corrente nei rami facenti capo allo stesso nodo è nulla, la corrente $i_1=i_2$ passante per $R_1$ ed $R_2$ è equivalente a quella uscente dalla maglia contenente $R_3$ ed $R_4$ ($i_3+i_4$); poiché questi ultimi resistori si trovano in parallelo, ottenendo $i_3 + i_4 = i_1=i_2$. Inoltre, notiamo che la corrente $i$ emanata dal generatore è uguale alla corrente $i_1$ e $i_2$. La corrente $i$ può essere calcolata utilizzando la resistenza equivalente e applicando proprio la prima legge di Ohm:

$$i=\frac{\Delta V}{R_{eq}}$$

dove $R_{eq}$ si può calcolare seguendo le prescrizioni nella pagina circuti elettrici. Vale

$$R_{eq}=R_1+R_2+\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}$$

La differenza di potenziale applicata ai capi delle resistenze $R_3$ ed $R_4$ è sempre ricavabile dalla legge di Ohm. La differenza di potenziale ai capi di $R_3$ o equivalentemente ai capi di $R_4$ è data dalla legge di Kirchhoff e vale $\Delta V_3=\Delta V_4=\Delta V-(R_1+R_2)i$. Usando ancora la legge di Ohm si trova $$ i_3=\frac{\Delta V-(R_1+R_2)i}{R_3} \qquad i_4=\frac{\Delta V-(R_1+R_2)i}{R_4}$$ Di seguito vengono riportati i valori misurati della corrente e sono confrontati con quelli nominali

Intensità di corrente Valore teorico $(mA)$ Valore misurato$(mA)$
$i$ 2.04 2.05
$i_1$ 2.04 2.05
$i_2$ 2.04 2.05
$i_3$ 1.61 1.62
$i_4$ 0.43 0.44

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Seconda Legge

Materiali utilizzati

Strumento Descrizione
Tavolette con fili conduttori Elementi circuitali
Generatore di tensione Elemento circuitale
Voltmetro Strumento per misurare la tensione
Amperometro Strumento per misurare la corrente

Variazione della resistenza con la lunghezza e misura della resistività

Utilizzando il generatore vengono alimentati dei fili conduttori di uguale sezione $S$ ma di lunghezza $l$ diversa. Utilizzando un multimetro in modalità ohmmetro, possiamo misurare la resistenza elettrica in funzione della lunghezza e fare un grafico della resistenza in funzione della relativa lunghezza. Dalla seconda legge di Ohm, possiamo verificare che la pendenza della retta è uguale al rapporto fra $\frac{\rho}{S}$. Moltiplicando per la sezione $S$ otteniamo la resistività $\rho$. Alternativamente, possiamo misurare la resistività variando la sezione.

Variazione della resistenza con la sezione e misura della resistività

Una premessa operativa: utilizzando due ponticelli metallici, è possibile cortocircuitare due fili ai loro estremi, quindi la sezione raddoppierà e si dovrà ottenere una resistenza pari alla metà di quella misura per la stessa lunghezza. Trascurando la variazione di temperatura, purché minima, e tenendo conto che la resistività $\rho$ dipende unicamente dal materiale, si può assumere che, presi tre fili di nichel-cromo di sezione diversa (per esempio $0.70\ mm$, $0.50$ e $0.35\ mm$) e di stessa lunghezza (per esempio $1 \ m$), questi abbiano lo stesso valore di resistività. Poniamo nel piano cartesiano sull'asse y i valori delle resistenze sperimentali $R$ e sull'asse x il valore reciproco della sezione trasversale $S$, ossia $1/S$ ($mm^{-2}$). Di seguito viene riportato una esempio di tabella con le misure delle tensioni [fatte erroneamente a vuoto, vedi nota in fondo] e delle correnti.

NICHEL-CROMO ($0.70\ mm$)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(\Omega)$
0,6 0,05 0,10 0,05 6,0
1,5 0,05 0,22 0,05 6,8
2,4 0,05 0,45 0,05 5,3
3,4 0,05 0,68 0,05 5,0
5,3 0,05 1,08 0,05 4,4
7,2 0,05 1,44 0,05 5,0

NICHEL-CROMO (0,35mm)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(\Omega)$
0,6 0,05 0,04 0,05 15,0
1,5 0,05 0,08 0,05 18,8
2,4 0,05 0,13 0,05 18,5
3,4 0,05 0,17 0,05 20,0
5,3 0,05 0,27 0,05 19,6
7,2 0,05 0,35 0,05 20,6

Per ottenere la misura indiretta del valore $\rho$ della lega nichel-cromo dunque basta calcolare il coefficiente angolare della retta data e dividerlo per la lunghezza dei fili (in questo caso $1\ m$).

Inseriamo in un grafico la tensione $V$ sull'asse y e la corrente $I$ sull'asse x, ottenendo tre rette diverse, una per ciascun conduttore. Ci aspettiamo che il coefficiente angolare della retta sia direttamente proporzionale alla sezione e quindi che la retta del filo con sezione $0.35$ abbia pendenza minore mentre quella riferita alla sezione $0.70\ mm$ pendenza maggiore. Da ciascuna rette si può ricavare il coefficiente angolare che rappresenta la resistenza di ogni filo conduttore.
Poi su un secondo grafico mettete sull'asse y i valori delle resistenze sperimentali $R$ e sull'asse x il valore reciproco della sezione trasversale $S$, ossia $1/S$ ($mm^{-2}$). Tre sono i punti sperimentali. Il coefficiente angolare sarà la resistività del nichel-cromo da confrontare con il valore di riferimento che si trova in letteratura.

Materiale $\rho$ ($\Omega·mm^2·m^{-1}$)
Valore sperimentale Valore standard (a 20°C)
Nichel-cromo $7,75·10^{-6}$ $1,08·10^{-6}$

DUE NOTE di chi ha apportato alcune necessarie correzioni al testo, ma che non ha eseguito gli esperimenti qui riportati:

1) Esistono due tipi di nichel-cromo: 65/15 (60-65 Ni; 15-19 Cr; 15-20 Fe; 2-4 Mn) con $\rho$ = $1,10·10^{-6}$ Ω m a 0 °C ; 80/20 (70-80 Ni; 20 Cr; 1-3 Mn) con $\rho$ = $1,05·10^{-6}$ Ω m a 0 °C.

2) Chi ha eseguito le misure di $\rho$ non si è chiesto come mai vi è una tale differenza tra il valore standard e quello misurato?
Purtroppo, fin dalla prima versione di questa pagina, nella procedura macchinosa dell'esperimento è stato commesso un grave errore. Le varie tensioni ottenibili ruotando la manopola dell'alimentatore sono state misurate a vuoto, cioè con l'alimentatore non collegato al circuito, e poi sono state inserite nella tabella.
Probabilmente chi ha svolto le misure ignora che le tensioni, fornite dall'alimentatore quando eroga corrente, sono inferiori rispetto a quelle a vuoto. Per misurare il $\rho$ vi sono metodi più semplici ed efficaci.
Lo stesso errore di misura delle tensioni è stato fatto nell'eseguire l'esperimento sulla prima legge di Ohm. Per evitare che chi legge incorra nell'errore è stato necessario correggere sia la foto sia il testo.
Le misure di tensione e di corrente vanno fatte contemporaneamente.

Schede didattiche

Sitografia

LinkDescrizione
Legge di Ohm Descrizione approfondita leggi di Ohm
YouMath Descrizione schematica ma completa delle leggi di Ohm.
Skuola.net Descrizione fenomeno e matematica
Fumanescuola Descrizione con esempi
ElettronicaSemplice Testo con maggiori dettagli
Youtube Esperimento seconda legge di Ohm
II legge di OhmVideo sulla II legge di Ohm della Zanichelli


fisica/esperienze/leggi_di_ohm.txt · Ultima modifica: 2024/03/11 17:08 da fabio.panfili