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LAB2GO Scienza

Leggi di Ohm

In fisica, le leggi di Ohm, il cui nome è dovuto al fisico tedesco Georg Simon Ohm, legano la resistenza elettrica alle caratteristiche del circuito e del conduttore stesso. Le due leggi di Ohm valgono per la maggior parte dei corpi solidi e ci permettono di capire se un materiale è un buon conduttore o un buon isolante. Le sostanze con caratteristiche intermedie sono dette semiconduttori.

Prima legge di Ohm

La prima legge di Ohm afferma che la differenza di potenziale, $V$, applicata ai capi di un conduttore ohmico è direttamente proporzionale all'intensità di corrente $I$ che lo attraversa:

$$V=RI.$$

La costante di proporzionalità $R$ si chiama resistenza e si misura in Ohm ($\Omega$). I componenti elettrici che seguono questa legge prendono il nome di resistori.

Seconda legge di Ohm

La resistenza dipende da alcune caratteristiche fisiche e geometriche del conduttore, come la resistività $\rho$, la lunghezza $l$ e la sezione $S$. L'esempio più semplice è quello in cui il conduttore è composto da un solo materiale, ha sezione costante e il flusso di corrente al suo interno è omogeneo, cioè non dipende dal punto dello spazio che consideriamo, e stazionario, cioè non dipende dal tempo. In questo caso, la resistività è legata alla resistenza dalla seguente relazione detta seconda legge di Ohm: $$R=\frac{\rho l}{S}$$

Spesso è comodo usare l'inverso della resistività elettrica che chiamiamo conducibilità elettrica.

Esperienze

Prima legge

Di seguito vengono proposte due possibili esperienze legate alla prima legge di Ohm.

Materiali utilizzati

Strumento Descrizione
Generatore di tensione Elemento circuitale
Resistori Elemento circuitale
Breadboard Elemento di supporto che consente la realizzazione del circuito
Multimetro Strumento di misura di tensione, corrente elettrica e resistenza
Fili conduttori di alluminio Elemento circuitale


Verifica della prima legge di Ohm

Esempio di circuito con multimetro per la misura di resistenza. Immagine Lab2Go

Usando un tester digitale misuriamo i valori nominali della tensione erogata dal generatore di bassa tensione continua, mettendo il tester in parallelo al generatore stesso.

Scegliere un filo (per esempio il nichel-cromo) e collegarlo al generatore tramite i cavi di collegamento. Impostato il selettore del tester affinché sia un amperometro (con fondoscala 20 mA), lo si mette in serie alla resistenza in modo tale da misurare la stessa corrente che attraversa il resistore (per collegamenti in serie e in parallelo consultare la pagina circuiti elettrici). Si fa quindi variare la tensione erogata dal generatore tramite la manopola a scatti e si annotano i valori di corrente dell'amperometro. Ripetere l'esperimento aumentando il voltaggio del generatore, così da poter disegnare una retta in un piano in cui l'asse y corrisponde alla tensione misurata e l'asse x alla corrente: il coefficiente angolare della retta sarà la resistenza. In questa fase, si faccia attenzione alla possibilità di sottoporre la resistenza ad una tensione troppo elevata. Infatti, per effetto Joule la resistenza può surriscaldarsi e l'aumento della temperatura cambia il valore di resistività. Di seguito vengono raccolti in tabella un esempio di valori misurati con la relativa incertezza, per due diversi conduttori (nichel-cromo e costantana). Propagando le incertezze su $V$ e $i$ si può ottenere l'incertezza su $R$, tramite la formula

$$\Delta R=R\sqrt{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2+\left(\frac{\Delta i}{i}\right)^2}$$

NICHELCROMO (0,70mm)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(Ω)$
0,6 0,5 0,10 0,05 6,0
1,5 0,5 0,22 0,05 6,8
2,4 0,5 0,45 0,05 5,3
3,4 0,5 0,68 0,05 5,0
5,3 0,5 1,08 0,05 4,4
7,2 0,5 1,44 0,05 5,0

COSTANTANA (0,35mm)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(Ω)$
2,4 0,5 0,06 0,05 40,0
3,4 0,5 0,12 0,05 25,0
3,9 0,5 0,17 0,05 22,9
5,5 0,5 0,35 0,05 15,7
7,4 0,5 0,52 0,05 14,2
11,2 0,5 0,74 0,05 15,1

Realizziamo un grafico dei valori della corrente in funzione della differenza di potenziale ottenendo la curva tensione-corrente caratteristica del componente conduttore scelto. Osserviamo che i punti sono allineati perciò si può affermare che il resistore utilizzato segue la legge di Ohm.

Risoluzione di un circuito

Si assembla un circuito costituito ad esempio da quello in figura

Esempio di circuito. Immagine da LAB2GO.

per realizzarlo possiamo prendere due breadboards, che possono essere unite per formare un'unica grande breadboard attraverso gli appositi incastri posti sui loro lati. In questo modo, avremo a disposizione una base per il circuito più grande e, di conseguenza, più spazio per i vari elementi del circuito. Si prendano successivamente quattro diverse resistenze ohmiche e, attraverso la classificazione del Codice Colori, si calcolino i valori nominali di ciascuna resistenza. Di seguito un esempio di tabella di quattro resistenze, il loco codice colore e il relativo valore nominale

Resistenza $1^\circ$Banda $2^\circ$Banda Moltiplicatore Tolleranza
$R_1$ marrone grigio rosso oro
$R_2$ marrone grigio rosso oro
$R_3$ giallo viola rosso oro
$R_4$ marrone grigio arancione oro

Dopo aver calcolato i diversi valori nominali, occorre calcolare la tolleranza di ciascuna resistenza (pari sempre al 5%): in questo modo otterremo il valore minimo e il valore massimo entro i quali il valore misurato dovrà rientrare. Il valore misurato è determinato utilizzando un multimetro in funzione di ohmetro: per misurare la resistenza di un resistore occorre attaccare agli estremi di ogni singola resistenza i morsetti del multimetro, che, una volta tarato sulle basi del valore nominale (ad esempio, se la mia resistenza ha un valore nominale di 1800 Ohm dovrò impostare il multimetro come ohmetro di portata 2000 Ohm) mostrerà il valore della resistenza. Dopo essersi accertati che i valori misurati delle resistenze rientrino in quelli nominali si può cominciare a costruire il circuito. Il circuito, costruito su due breadboards collegate, è alimentato da un generatore di tensione, che applica al circuito una differenza di potenziale pari a $\Delta V=15 V$. I morsetti del generatore sono collegati a due fili conduttori posti rispettivamente nel foro positivo e negativo agli estremi delle due breadboards: in questo modo il circuito (a corrente continua) è chiuso. Le resistenze $R_3$ ed $R_4$, al fine di verificare la legge di Ohm in diverse situazioni, vengano poste in parallelo tra loro ed in serie con $R_1$ ed $R_2$. Così facendo, le resistenze $R_3$ ed $R_4$ avranno ai loro capi medesima differenza di potenziale ma scorrerà in loro diversa intensità di corrente, mentre $R_1$ ed $R_2$ avranno ai capi diverse differenze di potenziale ma scorrerà in loro la stessa intensità di corrente (per maggiori dettagli su resistenze in serie e in parallelo si veda la pagina circuiti elettrici). Per montare il circuito si prosegua nel seguente modo: venga posto un filo conduttore sul foro positivo della riga collegata cinque-a-cinque verticalmente; successivamente si metta un capo della resistenza $R_1$ in corrispondenza verticale del foro positivo del primo filo conduttore e l'altro capo nei fori collegati cinque-a-cinque orizzontalmente. Un filo conduttore va successivamente posto come ponte tra uno dei fori adiacenti al secondo capo di $R_1$ e un altro foro della breadboard; adiacente a quest'ultimo foro si ponga un capo della resistenza $R_2$, la cui altra estremità verrà posta in uno dei fori della seconda breadboard. Da qui un secondo filo conduttore, adiacente a $R_2$, venga posto in una riga dove vengono collegate (allo stesso livello) $R_3$ ed R4; le due resistenze sono così collegate in parallelo. Per chiudere il circuito, basta ricollegare le due resistenze $R_3$ ed $R_4$ in una medesima riga orizzontale e far partire da lì un filo conduttore che colleghi questo punto alla riga cinque-a-cinque verticale negativa, alla fine della quale verrà posto un ultimo filo conduttore. Per dare corrente al circuito, basta collegare i morsetti del generatore di tensione ai fili conduttori iniziale e finale, posti nei fori cinque-a-cinque verticali positivi e negativi. Inoltre, stando alla prima legge di Kirchhoff, per la quale la somma algebrica delle intensità di corrente nei rami facenti capo allo stesso nodo è nulla, la corrente $i_1=i_2$ passante per $R_1$ ed $R_2$ è equivalente a quella uscente dalla maglia contenente $R_3$ ed $R_4$ ($i_3+i_4$); poiché questi ultimi resistori si trovano in parallelo, ottenendo $i_3 + i_4 = i_1=i_2$. Inoltre, notiamo che la corrente $i$ emanata dal generatore è uguale alla corrente $i_1$ e $i_2$. La corrente $i$ può essere calcolata utilizzando la resistenza equivalente e applicando proprio la prima legge di Ohm:

$$i=\frac{\Delta V}{R_{eq}}$$

dove $R_{eq}$ si può calcolare seguendo le prescrizioni nella pagina circuti elettrici. Vale

$$R_{eq}=R_1+R_2+\frac{R_3R_4}{R_3+R_4}$$

La differenza di potenziale applicata ai capi delle resistenze $R_3$ ed $R_4$ è sempre ricavabile dalla legge di Ohm. La differenza di potenziale ai capi di $R_3$ o equivalentemente ai capi di $R_4$ è data dalla legge di Kirchhoff e vale $\Delta V_3=\Delta V_4=\Delta V-(R_1+R_2)i$. Usando ancora la legge di Ohm si trova $$ i_3=\frac{\Delta V-(R_1+R_2)i}{R_3} \qquad i_4=\frac{\Delta V-(R_1+R_2)i}{R_4}$$ Di seguito vengono riportati i valori misurati della corrente e sono confrontati con quelli nominali

Intensità di corrente Valore teorico $(mA)$ Valore misurato$(mA)$
$i$ 2.04 2.05
$i_1$ 2.04 2.05
$i_2$ 2.04 2.05
$i_3$ 1.61 1.62
$i_4$ 0.43 0.44

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Seconda Legge

Materiali utilizzati

Strumento Descrizione
Tavolette con fili conduttori Elementi circuitali
Generatore di tensione Elemento circuitale
Voltmetro Strumento per misurare la tensione

Piccola nota: il generatore deve esser capace di misurare la corrente passante attraverso i fili.

Variazione della resistenza con la lunghezza e misura della resisitivtià

Utilizzando il generatore vengono alimentati dei fili conduttori di uguale sezione $S$ ma di lunghezza $l$ diversa. Utilizzando un multimetro in modalità ohmetro, possiamo misurare la resistenza elettrica in funzione della lunghezza e fare un grafico della resistenza in funzione della relativa lunghezza. Dalla seconda legge di Ohm, possiamo verificare che la pendenza della retta è uguale al rapporto fra $\frac{\rho}{S}$. Moltiplicando per la sezione $S$ otteniamo la resistività $\rho$. Alternativamente, possiamo calcolare la resistività variando la sezione.

Variazione della resistenza con la sezione e misura della resistività

Utilizzando un ponticello metallico, è possibile cortocircuitare fra loro dei fili, quindi la sezione raddoppierà e si dovrà ottenere una resistenza pari alla metà di quella misura per la stessa lunghezza. Trascurando la variazione di temperatura all'interno dell'ambiente in cui viene effettuata la misura e tenendo conto che la resistività $\rho$ dipende unicamente dal materiale, si può assumere che presi tre fili di nichel-cromo di sezione diversa (per esempio $0.70\ mm$, $0.50$ e $0.35\ mm$) e di stessa lunghezza (per esempio $1 \ m$) questi abbiano lo stesso valore di resistività. Poniamo nel piano cartesiano sull'asse y i valori delle resistenze sperimentali $R$ e sull'asse x il valore reciproco della sezione trasversale $S$, ossia $1/S$ ($mm^{-2}$). Di seguito viene riportata una esempio di tabella con dati misurati

NICHELCROMO ($0.70\ mm$)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(\Omega)$
0,6 0,05 0,10 0,05 6,0
1,5 0,05 0,22 0,05 6,8
2,4 0,05 0,45 0,05 5,3
3,4 0,05 0,68 0,05 5,0
5,3 0,05 1,08 0,05 4,4
7,2 0,05 1,44 0,05 5,0

NICHELCROMO (0,35mm)

$V (V)$ $\Delta V (V)$ $I (A)$ $\Delta I (A)$ $R(\Omega)$
0,6 0,05 0,04 0,05 15,0
1,5 0,05 0,08 0,05 18,8
2,4 0,05 0,13 0,05 18,5
3,4 0,05 0,17 0,05 20,0
5,3 0,05 0,27 0,05 19,6
7,2 0,05 0,35 0,05 20,6

Per calcolare il valore $\rho$ del materiale nichelcromo dunque basta calcolare il coefficiente angolare della retta data e dividerlo per la lunghezza dei fili (in questo caso $1\ m$).

Inseriamo in un grafico la tensione $V$ sull'asse y e la corrente $I$ sull'asse x, ottenendo tre rette diverse, una per ciascun conduttore. Ci aspettiamo che il coefficiente angolare della retta sia direttamente proporzionale alla sezione e quindi che la retta del filo con sezione $0.35$ abbia pendenza minore mentre quella riferita alla sezione $0.70\ mm$ pendenza maggiore. Da ciascuna rette si può ricavare il coefficiente angolare che rappresenta la resistenza di ogni filo conduttore.
Poi su un secondo grafico mettete sull'asse y i valori delle resistenze sperimentali $R$ e sull'asse x il valore reciproco della sezione trasversale $S$, ossia $1/S$ ($mm^{-2}$). Tre sono i punti sperimentali. Il coefficiente angolare sarà la resistività del nichel-cromo da confrontare con il valore di riferimento che si trova in letteratura.

Materiale $\rho$ ($\Omega·mm^2·m^{-1}$)
Valore sperimentale Valore teorico (a 20°C)
Nichel-cromo $7,75·10^{-6}$ $1,50·10^{-6}$

Schede didattiche

Sitografia

LinkDescrizione
Legge di Ohm Descrizione approfondita leggi di Ohm
YouMath Descrizione schematica ma completa delle leggi di Ohm.
Skuola.net Descrizione fenomeno e matematica
Fumanescuola Descrizione con esempi
ElettronicaSemplice Testo con maggiori dettagli
Youtube Esperimento seconda legge di Ohm
II legge di OhmVideo sulla II legge di Ohm della Zanichelli


fisica/esperienze/leggi_di_ohm.txt · Ultima modifica: 2022/05/17 08:28 da antonio.albano