I circuiti elettrici formano in genere una rete di varia complessità, costituita da un certo numero di circuiti contigui collegati fra loro.
Tutti i punti che collegano almeno tre conduttori si chiamano nodi. I rami che collegano due nodi si dicono lati. Ciascun circuito chiuso, composto di tanti lati consecutivi, si chiama maglia.
Ad un tale circuito elettrico non si può applicare la legge di Ohm per calcolare le eventuali grandezze incognite.
Si può ricorrere però ai due Principi di Kirchhoff, che furono formulati e provati sperimentalmente dal fisico tedesco Gustav Kirchhoff nel 1845.
Qui ci si limita ad illustrarne l’applicazione solo per circuiti in corrente continua e a proporre un semplice esperimento da realizzare in laboratorio.
Primo Principio
Il primo Principio riguarda i nodi e si basa sulla conservazione della carica. La corrente elettrica, nella sua definizione classica per conduttori metallici, è il numero di elettroni di conduzione che attraversano la sezione del conduttore nell’unità di tempo. Pertanto in un volume di conduttore come il nodo entrano da una parte tanti elettroni di conduzione quanti ne escono dall’altra parte. Dunque il primo Principio afferma che in ogni nodo del circuito la somma delle correnti che vi arrivano deve essere uguale alla somma delle correnti che se ne allontanano.
Ma si tenga presente che il verso della corrente (sempre nella sua definizione classica) va dal polo positivo a quello negativo, quindi è opposto a quello degli elettroni di conduzione.

Fonte F.P.

Si noti che spesso non è possibile determinare a priori il verso della corrente, tuttavia, una volta risolto il calcolo in base all’applicazione dei due Principi, possiamo sapere il verso effettivo a seconda del segno + o – del valore della corrente. Se il segno è positivo allora la corrente è concorde al verso scelto a priori, altrimenti scorre nel verso opposto.
Secondo Principio
Il secondo Principio riguarda le maglie e riassume in una sola equazione le relazioni che si ottengono applicando la Prima Legge di Ohm ai lati consecutivi che formano una maglia.
Esso stabilisce che in una rete di circuiti comunque complessa, la somma algebrica delle forze elettromotrici presenti nei rami di una maglia è uguale alla somma algebrica delle cadute di tensione ai capi delle resistenze situate nei rami della maglia.
La differenza di potenziale ai capi di una resistenza $R$ percorsa da corrente di intensità $i$ vale $R i$, quindi la legge delle maglie può essere riassunta dalla formula
$$\sum_k R_k i_k=\sum_kε_k$$
Dopo aver osservato attentamente l’intero circuito bisogna valutare quante maglie possibili vi sono, cioè quanti percorsi chiusi diversi esistono.
Poi bisogna assegnare i versi delle correnti, rappresentandoli con le frecce.
Per stabilire i segni algebrici da attribuire alle correnti I e alle f.e.m. ε, scegliamo arbitrariamente un verso di percorrenza, orario o antiorario. Nelle figure esplicative abbiamo scelto, per evitare ulteriori complicazioni, un verso orario valido per tutte le maglie.
Allora valgono le seguenti affermazioni.
Se in un ramo la corrente di intensità $I_h$ ha verso concorde con quello scelto , $R_hi_h$ ha segno positivo, altrimenti ha segno negativo.
Se la sorgente di forza elettromotrice $ε _k$ ha polarità concordi con il verso prescelto, essa va presa con segno positivo, altrimenti con segno negativo.
Si consiglia in proposito di osservare la figura esplicativa che segue.

Fonte F.P.

Per impostare un sistema di tante equazioni tra loro indipendenti quante sono le incognite, vi sono due regole.
Per i nodi le equazioni indipendenti sono (n-1).
Per le maglie, se il numero di lati della rete è L, si dovranno scrivere L-(n-1) equazioni. In genere le incognite sono le correnti I, ma possono esserlo sia alcune resistenze R, o f.e.m. ε È ovvio che il numero di incognite deve essere comunque uguale al numero di lati della rete. Una volta risolto il sistema (come si è scritto sopra), se il segno di qualche corrente o f.e.m ε risulta negativo allora bisogna cambiarne il verso o la polarità.
Nell’impostare il sistema bisogna verificare attentamente che le equazioni siano indipendenti. Dai due principi di Kirchoff seguono le leggi sulle resistenze equivalenti delle resistenze in serie e delle resistenze in parallelo.
Nelle due figure che seguono vi sono due esempi di applicazione dei due Principi di Kirchhoff.

Fonte F.P.

Fonte: vedi Bibliografia

Aa.Vv.

Si realizza il circuito come illustrato in figura.
Il voltmetro inserito in parallelo al generatore di f.e.m. ε serve per misurare la differenza di potenziale V fornita dal generatore sotto carico che in genere è minore di quella a vuoto. Quindi nei calcoli di verifica bisogna usare la V misurata.
Si inserisce in serie un amperometro tra le resistenze $R_1$ ed $R_2$ per misurare la corrente che passa attraverso queste quindi si inseriscono in serie altri due amperometri per la misura di corrente attraverso $R_3$ ed $R_4$ che sono tra loro in parallelo.
Si può verificare che la somma delle correnti uscenti dal nodo sono uguali a quelle entranti dal nodo ossia la corrente che scorre in $R_2$ è uguale alla somma delle correnti con che scorrono rispettivamente in $R_3$ ed $R_4$.
Si può infine verificare che la somma delle cadute di tensione sulle resistenze di una maglia sia uguale a quella del generatore di f.e.m. ε il cui valore, misurato dal voltmetro, è V; ossia che la somma di $iR_1$,$iR_2$ e $i_4R_4$ (o $i_3R_3$) sia uguale a $V$.
Bibliografia: L. Olivieri E. Ravelli, Elettrotecnica, Vol. I, CEDAM, Padova 1959.