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fisica:esperienze:legge_di_hooke

LAB2GO Scienza

Legge di Hooke

Introduzione Storica

Robert Hooke è stato un fisico, biologo, geologo e architetto inglese. Fu uno dei più grandi scienziati del Seicento e una delle figure chiave della rivoluzione scientifica. È ricordato in particolare per la prima formulazione storica della legge sull'elasticità lineare. Il suo intento era quello di costruire un buon orologio per uso marino. Aveva intuito che un pendolo non sarebbe stato efficace sulle navi visto il forte rollio che subiscono, per questo immaginò di usare delle molle. Già nel 1660, sfruttando le proprietà delle molle, aveva ideato quella che oggi è nota essere la legge di Hooke, enunciata ufficialmente solo nel 1678 nel saggio De potentia restitutiva or of a spring. Il suo progetto rimase sconosciuto fino al 1675 quando Huygens propose un meccanismo simile. Robert Hooke pubblicò il saggio sopracitato come ulteriore conferma della terza legge della dinamica affermata da Isaac Newton, elaborando due principi:

  • ogni solido, se sollecitato, si deforma (accorciandosi o allungandosi) e tale deformazione si annulla se si rimuove la sollecitazione;
  • questa deformazione consente al solido di sviluppare l’azione opposta alla sollecitazione.

Hooke si accorse che tirando due molle o due fili, entrambi della stessa lunghezza e l’uno con un peso doppio dell’altro, subiranno un allungamento l’uno il doppio dell’altro. Sfuggì, però ad Hooke che l’allungamento significativo non corrisponde a quello assoluto ($l-l_0=\Delta l$) ma a quello relativo alla lunghezza iniziale $l_0$.

$$\epsilon =\frac{l-l_0}{l_0}=\frac{Δl}{l_0}$$

Legge fisica

Applicando un carico P il filo si allunga di $\Delta l=l-l_0$; se si applica un carico doppio (2P) anche l’allungamento raddoppia $\Delta l'=2\Delta l$. Hooke colse bene questo aspetto.

Egli racchiuse le sue scoperte nella celebre frase “ut tensio, sic vis” ovvero “tanta la deformazione, tanta la forza”. Ciò significa che tirando una molla questa si allungherà tanto o poco in base alla forza esercitata su di essa. Applicando invece la stessa forza ad un muro la deformazione di quest’ultimo sarà poco o per niente visibile. La differenza tra le due deformazioni sta nella diversa elasticità dei due materiali.

La legge di Hooke afferma che l’allungamento subìto da un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata. La costante di proporzionalità viene detta costante elastica e dipende dalla natura del materiale stesso. Ogni molla quindi possiede una costante elastica, $K$, che tiene conto di:

  1. Tipo di materiale usato nella costruzione
  2. Numero di spire che compongono la molla
  3. Forma geometrica delle spire

Tanto maggiore è il valore della costante, tanto più la molla è rigida e quindi difficile cercare di allungarla o comprimerla. La direzione della forza è uguale a quella della deformazione ed è sempre rivolta in verso opposto rispetto alla deformazione: se la molla è contratta allora la forza tenderà ad allungare la molla, se allungata la forza tenderà a comprimerla. In maniera vettoriale la forza si esprime nel seguente modo: $$\vec{F}=-K\vec{\Delta l}$$ La dimensione della costante elastica è [$N\cdot m^{-1}$]

Un punto materiale soggetto alla forza di Hooke se messo in moto compie un moto armonico (vedi Oscillatori e Oscillazioni) attorno alla lunghezza a riposo, con pulsazione $\omega$ pari a $$\omega^2=\frac{K}{m}$$ con $m$ indicante la massa del punto materiale.

La legge di Hooke porta a potenziale armonico della seguente forma: $$U(x)=\frac{1}{2}K\Delta l^2$$

Sono disponibili alcuni siti su cui fare simulazioni con sistemi di molle (vedi Guida ai tool di simulazione sulle molle)

Esperimenti per Stima Costante Elastica

Statica

Un corpo di massa $m$ all'equilibrio in presenza di un campo gravitazionale costante, tipo quello terrestre, $\vec{g}$, la posizione d'equilibrio è data dalla seguente relazione: $$K\Delta l=mg$$

Stimando la deformazione della molla, nota la massa dei pesi, è possibile stimare la costante elastica attraverso la seguente relazione: $$K=\frac{gm}{\Delta l}$$ L'errore associato alla stima della costante, $\Delta K$, è quindi, indicando con $\Delta \bar{l}$ l'errore associato alla deformazione: $$\Delta K=K\left(\frac{\Delta \bar{l}}{\Delta l}+\frac{\Delta m}{m}\right)$$

Dinamica

un punto materiale in moto soggetto alla forza di Hooke compie un moto armonico (vedi Oscillatori ed Oscillazioni) la cui pulsazione, $\omega$ è data da: $$\omega=\sqrt{\frac{m}{K}}$$ Il periodo di oscillazione è quindi: $$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{K}{m}}$$

Misurando il periodo di oscillazione attraverso un cronometro, nota la massa è possibile ricavare la costante elastica: $$K=4\pi^2\frac{m}{T^2}$$ L'errore associato alla stima della costante elastica è: $$\Delta K=K\left(\frac{\Delta m}{m}+2\frac{\Delta T}{T}\right)$$

Utilizzando masse diverse è possibile procedere con una regressione lineare per trovare la costante elastica.

Strumenti

Strumenti necessari
Molla
Pesi
Dinamometro

Schede Didattiche

Sitografia

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Legge di Hooke Descrizione legge fisica e citazioni storiche
YouMathIllustrazione legge fisica
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fisica/esperienze/legge_di_hooke.txt · Ultima modifica: 2020/11/18 13:05 (modifica esterna)