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L'esperimento di Millikan per antonomasia è l'esperimento della goccia d'olio, il cui obiettivo, cioè misurare la carica elettrica dell'elettrone, fu raggiunto nel 1909. Il valore ricavato da Robert Millikan fu 4,774(5) $\cdot$ 10^-10 statcoulomb, equivalenti a 1,5924(17) $\cdot$ 10^-19 coulomb, minore dello 0,6% circa rispetto a quello oggi comunemente accettato, pari a 1,602176634 $\cdot$ 10^-19 coulomb.

L'esperimento comporta l'osservazione di goccioline d’olio elettricamente cariche situate tra due lastre metalliche parallele, che costituiscono le piastre di un condensatore. Le gocce di olio nebulizzate vengono introdotta attraverso un piccolo foro nella piastra superiore del condensatore e sottoposte ad una differenza di potenziale nota. La camera viene illuminata trasversalmente in modo da poter osservare, attraverso un microscopio munito di scala graduata, l’interno della camera. La carica elettrica trasportata da una particella può essere determinata misurando la forza sentita dalla particella in un campo elettrico di intensità nota.
Anche se è relativamente facile produrre un campo elettrico di intensità nota, la forza esercitata da tale campo su una particella che trasporta solo uno o più elettroni in eccesso è molto piccola. Per comprendere meglio questa argomentazione facciamo un esempio: un campo di 1000 Volt per cm eserciterebbero una forza di soli 1,6 $\cdot$ 10 ^-4 N su una particella che trasporta un solo elettrone in eccesso. Questo equivale alla forza gravitazionale esercitata su una particella di massa di 10−12 g (un milionesimo di milionesimo di grammo). Il successo dell'esperimento di Millikan dipende proprio dalla sulla capacità di misurare forze così piccole. In questo esperimento il comportamento di piccole goccioline d’olio cariche, e aventi masse di pochi grammi o meno, viene misurato in presenza di campi elettrici e gravitazionali. La misura della velocità di caduta della goccia consente il calcolo della massa della goccia stessa, sfruttando legge di Stokes. L'osservazione della velocità della goccia che sale in un campo elettrico permette la misurazione della forza applicata e quindi della carica trasportata dalla goccia d'olio.

Immagine da https://docenti.unisi.it/sites/dc2/files/allegati-avvisi/04-12-2019/Millikan_Callaini.pdf

La scoperta dell’elettricità viene attribuita al filosofo greco Talete di Mileto (VI secolo a.C.), il quale osservò che sfregando energicamente un piccolo pezzo di ambra, che in greco si chiama èlektron, esso acquisiva la capacità di attrarre oggetti leggeri, come dei pezzetti di paglia. Durante il XVII secolo vennero condotti studi sperimentali sull’elettricità. L’inglese Stephen Gray scoprì l’elettrificazione per influenza, che consisteva nella possibilità di elettrificare un corpo a distanza, senza contatto diretto; così come la distinzione tra corpi conduttori, i quali permettevano la diffusione dell’elettricità, e corpi isolanti, che impedivano la trasmissione. Nel 1733, il fisico e chimico francese Charles du Fay apportò un contributo fondamentale alla storia dell’elettricità; egli scoprì che esistevano due tipi di elettricità (ciò che oggi definiamo cariche elettriche): un primo tipo ottenuto dallo sfregamento del vetro, da lui chiamata elettricità vetrosa, e un secondo tipo ottenuto strofinando corpi resinosi, chiamata elettricità resinosa. Due corpi con la stessa carica elettrica si respingono l’uno con l’altro, mentre quelli con una carica elettrica diversa si attraggono. Il fenomeno è stato spiegato per la prima volta nel 1747 da Benjamin Franklin, il quale ha teorizzato che l’elettricità fosse composta da un fluido con all’interno cariche positive e negative. Franklin, grazie ai suoi studi, ha supposto l’esistenza di piccole particelle elettriche che potessero passare attraverso la materia. La parola “elettrone” venne coniata per la prima volta da G. Johnstone Stoney, il quale provò a determinare la sua carica, ottenendo un valore di 0,3 $\cdot$ 10^-10 e.s.u.. I primi tentativi sperimentali vennero fatti da Townsend, il quale osservando l’elettrolisi di acido solforico ha determinato la carica dell’elettrone, e da Thompson, che ha utilizzato un metodo simile a quello di Townsend. Entrambi i risultati però non erano corretti in quanto si basavano sull’approssimazione iniziale che a ciascuno ione appartenesse una gocciolina. L’esperimento venne migliorato da Wilson, il quale aggiunse due piatti di ottone collegati ad una batteria di 2000 volt, ottenendo un risultato ritenuto valido di 3$\cdot$ 10^-10 e.s.u. Millikan utilizzò l’esperimento di Wilson aumentando la potenza tra i due piatti così da far muovere le goccioline dall’alto al basso e viceversa, riuscendo anche a bilanciare le forze che agiscono tra i piatti fermando la gocciolina; questo gli permise di studiare le proprietà di un solo ione. Nel 1909 Millikan realizzò un nuovo apparato che gli permise di studiare una singola gocciolina d’olio per un periodo di tempo prolungato. Dopo centinaia di misurazioni su diverse goccioline d’olio, Millikan ottenne come valore della carica di un elettrone 4,774 $\cdot $10^-10 e.s.u., valore accettato fino al 1928 quando venne condotto un nuovo esperimento usando i raggi X che indica come valore 4,803 $\cdot$ 10^-10 e.s.u., ovvero circa -1,602 $\cdot$ 10^-19 C.

L’esperimento di Millikan permette di determinare una stima per la carica dell’elettrone attraverso considerazioni di tipo dinamico e fluidodinamico. Delle goccioline d'olio vengono nebulizzate con uno spruzzatore in una cella al di sopra del condensatore e da lì cadono per gravità nella regione dove è presente il campo elettrico. Durante questo procedimento alcune delle goccioline d'olio si elettrizzano per strofinio, in genere negativamente, contro l'ugello dello spruzzatore e quindi diventano elettricamente cariche. Durante la loro caduta, in assenza di campo elettrico, queste sperimentano un attrito con l'aria e quindi raggiungono rapidamente una velocità di regime v⁰ (costante) che dipende dal loro raggio r e dalla loro densità ρ. Applicando un campo elettrico uniforme nel verso corretto, le goccioline ionizzate vengono sospinte verso l'alto e raggiungono una nuova velocità di regime (data dall'equilibrio fra la forza di gravità, la forza di Coulomb, e la forza d'attrito viscoso) che può essere misurata nello stesso modo. L'olio ha il vantaggio di produrre goccioline dalla massa praticamente stabile, requisito importante per la misura.

Dall’analisi delle forze che agiscono su una gocciolina di olio è possibile determinare l'equazione del moto della particella e quindi scrivere la relazione che permette di misurare la carica trasportata. In assenza di campo elettrico le forze che agiscono sulla gocciolina di olio sono: la forza di gravità o forza peso, la forza di Archimede e la forza di attrito viscoso. In presenza di campo elettrico si aggiunge alle forze precedentemente elencate la forza elettrostatica.

La forza di gravità o forza peso, che spinge la goccia verso il basso, è il prodotto tra la massa del corpo (in questo caso la gocciolina d’olio) e l’accelerazione di gravità (valore approssimato 9,81 m/s²). $$ F_G = mg $$

La forza di Archimede, è dovuta all’aria e spinge la goccia verso l’alto, è direttamente proporzionale al volume spostato e alla densità del fluido. Nel nostro caso il corpo ha una forma sferica quindi possiamo utilizzare la formula del volume di una sfera [(4/3)πr^3] e otteniamo quindi: $$F_A= (ρ_{olio} – ρ_{aria}) \frac{4}{3} πr^3 g $$ Dove:
ρ_olio = densità dell’olio;
ρ_aria = densità dell’aria;
g = accelerazione di gravità;
r = raggio della gocciolina.

La forza di attrito viscoso tra le goccioline d’olio e l’aria spinge la goccia verso l’alto e dipende dalla velocità. Questa forza è maggiore tanto quanto è maggiore la velocità relativa tra il corpo immerso nel fluido e il fluido stesso (in questo caso la velocità relativa tra la gocciolina di olio e l’aria). Per la legge di Stokes: $$F_V=6πη rv_0$$ Dove:
η = coefficiente di viscosità dell’aria;
r = raggio del corpo sferico;
v₀ = velocità raggiunta dal corpo in caduta dopo poche frazioni di secondo;

La forza elettrostatica è la forza esercita da un campo elettrico su una carica. Supponendo che la goccia sia carica negativamente, la forza elettrica ha la stessa direzione del campo elettrico, ma se il campo elettrico è negativo allora il verso della forza è opposto, un campo elettrico negativo è diretto verso il basso e produce quindi una forza verso l’alto. $$ F_E = q(\frac{∆V}{d}) = qE $$ Dove:
q = carica;
∆V = variazione di volume;
d = distanza tra le armature;
E = campo elettrico.

In assenza di campo elettrostatico il moto della goccia è regolato dall'equazione:

$$ma = m'g - 6\pi \eta r v $$

dove m è la massa della goccia e m'g è la forza peso agente sulla goccia corretta per la spinta idrostatica:

$$m'g = (\rho - \rho_a)\frac{4}{3}\pi r^3 g $$

dove ρ è la densità dell'olio e ρ_a è la densità dell'aria in condizioni sperimentali e r è il raggio della goccia. C'è un termine, nella prima espressione, che è proporzionale alla velocità ed è la resistenza dell'aria con viscosità η.

A regime (condizioni stazionarie a=0) la resistenza dell'aria uguaglia la forza peso della goccia corretta per la spinta idrostatica:

$$v_0=\frac{m'g}{6\pi\eta r}=\frac{2(\rho - \rho_a)gr^2}{9\eta} $$

Misurando v₀ è possibile misurare anche il raggio r della goccia stessa. Il moto descritto dall'ultima equazione di cui sopra è un moto rettilineo uniforme.

In presenza di campo elettrostatico, la legge del moto è:

$$ma = m'g - qE - 6\pi \eta r v $$

fatte salve sempre le ipotesi introdotte inizialmente di carica positiva e campo diretto nel senso precisato.

A regime, la velocità di caduta risulta pari a:

$$v_1=\frac{m'g-qE}{6\pi\eta r} = v_0 - \frac{qE}{6\pi \eta r}$$

ed è una velocità più piccola di quella descritta in precedenza in quanto interviene il campo elettrostatico che pone un freno al moto. In base all'ultima equazione si può osservare che variando il valore del campo ettrostatico si può far scendere la goccia con la velocità desiderata o mantenerla ferma se si vuole. Eseguendo con la stessa goccia varie misure di velocità si può calcolare il valore q della carica.
Utilizzando una sorgente radioattiva o a raggi X si può irradiare l'aria, scatenando il fenomeno della ionizzazione con la conseguente formazione di ioni positivi e negativi. In tal caso si vedono durante il moto di una goccia delle variazioni brusche della v1 che sono riconducibili alle variazioni di carica della goccia che ha catturato qualcuno degli ioni. Si deduce che ciascuna variazione Δq è legata ad una variazione Δv1 dalla relazione:

$$ \Delta v_1 = \frac{E}{6\pi \eta r} \Delta q$$

Oppure, la goccia può essere bilanciata, cioè, in altre parole, può essere in condizioni di equilibrio statico che si verifica quando è soddisfatta la seguente relazione:

$$ m'g = qE $$

Si vede in tal caso che essa talvolta si mette in movimento verso l'alto o verso il basso e tale movimento è giustificato ancora una volta dalla cattura di uno ione. In tal caso, ad ogni Δq è corrisposta una variazione ΔE necessaria a ripristinare l'equilibrio.