Descrizione

La massa, come ogni grandezza fisica, deve essere misurabile. Per definirla, dunque, occorrono delle leggi espresse in formule matematiche. Concettualmente, si distinguono due tipi di massa:

1. la massa inerziale, quella che troviamo nella formula del secondo principio della dinamica: $\vec{F} = m\vec{a}$. Indica la “resistenza” che un corpo oppone alla variazione del suo stato di moto. Infatti, se applichiamo una stessa forza a due corpi di massa diversa, otteniamo differenti accelerazioni. Il corpo di massa inerziale maggiore oppone una maggiore “resistenza” alla variazione del suo stato di moto per cui, a parità di forza, si ottiene una accelerazione minore. Il corpo di massa inerziale minore oppone una minore “resistenza” alla variazione del suo stato di moto per cui, a parità di forza, si ottiene una accelerazione maggiore. Possiamo quindi definire la massa inerziale come il rapporto: $$m_{inerziale} = \frac{F}{a}$$
2. la massa gravitazionale, quella che, invece, si trova nella formula della legge di gravitazione: $$\vec{F}=-G\frac{m_{gravitazionale}M_{gravitazionale}}{r^3}\vec{r}$$Indica la “capacità” che hanno due corpi di attrarsi gravitazionalmente. La forza gravitazionale che si instaura fra due corpi è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i loro centri di massa.
   

Le due leggi sinteticamente illustrate sopra sono state trovate da I. Newton e pubblicate nel 1687 in tre volumi: Phylosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Nel terzo volume dell'opera egli propone una “legge generale della gravitazione”.
Newton si chiese se ci fosse una proporzionalità se non una uguaglianza tra le due masse; i suoi esperimenti lo portarono a concludere che la differenza tra le due fosse minore di un millesimo.
Per giungere a questa conclusione Newton misurò i periodi di molti pendoli di lunghezza uguale ma appendendovi masse “d'oro, d'argento, di piombo, di vetro, di sale, di legno, d'acqua e di frumento”.
Per rendere uguale (nei limiti sperimentali) il baricentro delle masse riempiva due recipienti di legno rotondi ed uguali uno con legno e l'altro, nel centro di oscillazione, con un uguale peso d'oro.
In tal modo otteneva pendoli uguali nella lunghezza, nel peso e nelle dimensioni esterne per la resistenza dell'aria. Li poneva uno accanto all'altro e, dopo aver ottenuto oscillazioni in sincronismo euguali in ampiezza, osservava che “andavano e tornavano insieme per lunghissimo tempo”.
Ne concludeva che “… la quantità di materia nell'oro stava alla quantità di materia nel legno come l'azione della forza motrice in tutto l'oro alla medesima azione in tutto il legno; ossia, come il peso dell'uno stava al peso dell'altro. E così per i rimanenti.”

Inoltre è illuminante sulla sua teoria della gravitazione quanto scrisse in una lettera a Bentley:
«Voi parlate a volte di gravità come se essa fosse essenziale per ogni materia e risiedesse in essa. Vi prego di non attribuire a me questa idea, giacché io non pretendo di sapere la causa della gravità: per studiare questa ci vorrebbe parecchio più tempo ancora … La causa della gravitazione deve risalire a qualche fattore che agisca costantemente secondo leggi definite: ma se questo fattore sia materiale piuttosto che immateriale, io lo lascio alla considerazione dei miei lettori».

L'universalità della legge è ancor oggi usata nell'ambito dei suoi limiti.
Limiti corretti dalla Relatività Generale pubblicata da A. Einstein nel 1916.
La Relatività Generale può essere riassunta con le parole di J. A. Wheeler: “La massa dice allo spazio-tempo come curvarsi: lo spazio-tempo dice alla massa come muoversi”.

L'esperienza mostra che massa inerziale e massa gravitazionale sono legate fra loro (per questo motivo si giustifica l'uso dello stesso termine “massa”).

In effetti, grazie ad esperimenti sofisticati, si verifica che massa inerziale e massa gravitazionale coincidono (con grande precisione); questo fatto non è ovvio, tanto da rappresentare una nuova legge della natura, che Einstein chiamò principio di equivalenza. L'equivalenza fra i due tipi di massa costituisce la base logica su cui si fonda la teoria della relatività generale.

Ci sono due versioni del principio di equivalenza, entrambe dovute ad Albert Einstein:

• La versione forte afferma che, in un campo gravitazionale qualsiasi, è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento, nell'intorno di ogni punto, dove gli effetti dell'accelerazione dovuti al campo gravitazionale sono nulli;
• La versione debole asserisce che la massa inerziale, cioè la proprietà intrinseca del corpo materiale di opporsi alle variazioni di moto, e la massa gravitazionale, che rappresenta la proprietà di un corpo di essere sorgente e di subire l'influsso di un campo gravitazionale, sono numericamente uguali (la differenza tra le due masse Δm è stata sperimentalmente misurata da Eötvös, nell'esperimento che porta il suo nome, trovando che $\frac {\Delta m}{m}<10^{-9}$. Tra il 1950 e il 1960 Dicke migliorò questi risultati, dimostrando che $\frac {\Delta m}{m}<10^{-11}$ ).
  

Gli appellativi di forte e debole si giustificano dal momento che se vale il principio di equivalenza nella forma forte deve valere anche quello nella forma debole, mentre da un punto di vista logico l'implicazione non è reversibile. Questa caratteristica fa sì che, anche se il principio in forma debole è stato sperimentalmente confermato con precisione elevatissima, ciò non è sufficiente a garantire lo stesso grado di certezza anche alla forma forte, che deve essere dunque considerata ancora come un postulato.

Esperimento ideale dell'ascensore di A. Einstein
A. Einstein nel suo esperimento ideale dell'ascensore mostrò che le due masse sono indistinguibili.
Infatti in un ascensore fermo nel campo gravitazionale terrestre i corpi cadono con la stessa accelerazione che si otterrebbe in un ascensore posto nello spazio lontano da fonti gravitazionali e soggetto ad una forza che produca la stessa accelerazione in verso opposto alla precedente.
Nel primo caso la massa è gravitazionale, nel secondo inerziale.
Eppure un osservatore all'interno dell'ascensore non potrebbe distinguerne la differenza.
Inoltre lo stesso osservatore non potrebbe distinguere la differenza tra le due masse nel caso in cui l'ascensore cadesse nel campo gravitazionale terrestre o fosse in quiete nello spazio lontano da fonti gravitazionali.

Esperimento con rotaia inclinata e carrello
L'equivalenza può essere verificata sperimentalmente con la rotaia con carrello opportunamente inclinata: al variare della massa posta sul carrello, si ha sempre la stessa accelerazione. Essa è misurata usando la seguente formula: $$a= 2\frac{s}{t^2} $$ Il tempo è misurato dal cronometro connesso allo strumento e lo spazio può essere letto dalla scala centimetrica posta lungo il supporto dello strumento. Oppure, nella versione della rotaia con carrello della Leybold, le misure dello spazio e del tempo sono relizzate con l'analisi della serie di puntini impressi sulla striscia di carta trascinata dal carrello nel suo moto
L'accelerazione si può trovare anche con $$ a= g \cdot \frac{ m_{gravitazionale}}{m_{inerziale}} $$

Verifica del principio d'equivalenza con il pendolo

Una delle esperienze possibili per verificare il principio di equivalenza sfrutta l'utilizzo del pendolo. Lo strumento infatti ha, nella formula utilizzata per calcolare il proprio periodo, solo massa e lunghezza come variabili, dando la possibilità di effettuare semplici misure e calcoli per ottenere il valore della massa. Prima di procedere con l'illustrazione dell'esperimento si fa notare che, quando la massa è ferma nel punto più alto, si presenta sotto la forma gravitazionale; quando la massa si trova nel punto più basso della traiettoria la sua forma è solo inerziale. Questo è un invito a riflettere sugli aspetti della massa lungo l'intera traiettoria. Se la massa viene espressa come rapporto tra quella gravitazionale e inerziale (la prima misurata con una bilancia) diventa possibile misurare il rapporto tra le due masse e osservare la loro equivalenza.

$T^2 = \frac{ 4 \pi^2}{\omega^2} $

Visto che con angoli $ \alpha <10^o $ si ha che la componente verticale della forza peso è:

$ F_p \approx m_g g \theta$

e usando la seconda legge di Newton per trovare l'equazione del moto si ha:

$ m_g g = m_i a = -m_1 l \ddot{\theta}$

ottenendo quindi:

$\ddot{\theta} = -\frac{m_g}{m_i} \frac{g}{l} \theta$

arrivando alla formula finale:

$ T^2 = 4 \pi \frac {m_i}{m_g} \frac {l}{g} $
Da questa formula si può dire che, se la massa inerziale e gravitazionale coincidono, nei limiti delle incertezze sperimentali, allora non influiscono sul risultato.

Quindi, per verificare l'equivalenza, bisogna fare un rapporto tra due periodi misurati con masse differenti sullo stesso pendolo.