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fisica:esperienze:accelerazione_di_gravita

LAB2GO Scienza

Accelerazione di gravità

Descrizione

La figura mostra il moto di un vaso in caduta libera. Immagine da Scienze.diginsegno

Che i corpi tendano a cadere al suolo a causa di un'accelerazione è un'evidenza fisica di cui si ha tanta familiarità.
L'accelerazione di gravità è una conseguenza della legge di gravitazione universale. La forza subita da un corpo di massa $m$ soggetta al campo gravitazionale di un corpo celeste è data dalla seguente espressione: $$\vec{F}=-\frac{G m M \vec{r}}{r^3}$$ dove

  • $G$ è la costante di gravitazione universale,
  • $M$ è la massa del corpo attrattore,
  • $\vec{r}$ è il vettore distanza fra i due corpi e $r$ è il suo modulo,
  • il segno meno compare perché la forza è sempre attrattiva.

Nel caso della Terra, approssimabile con una sfera, si può supporre che la forza gravitazionale sia radiale e quindi diretta verso il centro. Inoltre, supponendo che la distanza fra i due corpi sia uguale al raggio della Terra, dunque la massa $m$ è poggiata sulla superficie terrestre, possiamo riscrivere $$ \vec{F}=m\vec{g} $$ dove $$ \vec{g}=-\frac{GM}{R^2}\hat{u}_r $$ è l'accelerazione di gravità e $R$ è il raggio della Terra. Il valore di $g$ è in letteratura $9.80665m/s^2$ ed è assunto constante in ogni punto della superficie terrestre. Si tratta di un valore medio che approssima il valore dell'accelerazione di gravita' presente al livello del mare a una latitudine di $45,5^\circ$. Tale valore viene a volte rappresentato con g0, quando g viene invece usato per rappresentare l'effettiva accelerazione di gravità locale. Infatti, è doveroso ricordare che l'accelerazione di gravità dipende dall'altitudine (la distanza dal centro aumenta o diminuisce) e da latitudine e longitudine (la Terra non è esattamente una sfera). Questo significa che in assenza di forze esterne dissipative e assumendo la massa gravitazionale uguale alla massa inerziale, ogni corpo cade con la stessa accelerazione verso il basso e la sua legge del moto è data da: $$\begin{cases} x(t)=x_0+v_0(t-t_0)-\frac{1}{2}g(t-t_0)^2\\ v(t)=v_0-g(t-t_0) \end{cases}$$

È però esperienza comune il fatto che l'accelerazione di cui risente una foglia in caduta libera è diversa da quella di cui risente una pallina di carta. Questa differenza si può spiegare tenendo conto dell'attrito viscoso, dovuto alla presenza dell'aria, che fa si ché i corpi cadano a velocità diverse a seconda del peso e della forma.

Strumento per la caduta dei gravi

Il modo più diretto per verificare quanto discusso in precedenza è l'uso di uno strumento per la misura della caduta dei gravi in grado di verificare la legge oraria $x(t)$. Lo scopo dell’esperienza è, quindi,

  1. Osservare e studiare il moto di un corpo pesante in caduta libera nell’aria: misura dello spazio
  2. Osservare e studiare il moto di un corpo pesante in caduta libera nell’aria: velocità in funzione del tempo;
  3. Determinare l’equazione oraria del moto esaminato;
  4. Effettuare la misura indiretta dell’accelerazione di gravità;

Misura dello spazio percorso al variare del tempo.

Si dispone di un’asta verticale graduata (circa 2 metri) con in cima un dispositivo elettromagnetico in grado di trattenere un peso (“funghetto”) che viene lasciato quando si preme un tasto collegato in posizione normalmente chiuso. La tensione necessaria per trattenere il peso è di circa $7-8 \ V$ fornito da un alimentatore; La misura del tempo di transito viene effettuata con un cronometro digitale (selezionare la sensibilità al decimillesimo di secondo). Due sensori a raggi infrarossi ($IR$) collegati al gate1 e al gate2 funzionano da start e da stop.

Sull’asta graduata sono fissati i due traguardi ottici che comandano un orologio digitale, quando il peso attraversa il primo parte il cronometro che viene fermato quando il peso attraversa il secondo traguardo. Il cronometro può essere modificato nella sensibilità e nel tipo di segnale. In questa misura viene posizionato nel simbolo doppio impulso, _┌┐_┌┐_ . Dopo aver verificato attraverso un filo a piombo che il pesetto nel suo volo non urti i traguardi laser si fissa il primo ad un certa quota (ex. $10 \ cm$, quindi $x_0=10 \ cm$) e si muove il secondo (ex.$60\ cm$, $80, 110, 140, 50, 40, 30, 25, 20$ e $15$) Per ognuna di queste quote si prendono diversi tempi ($5$ o $6$) e se ne calcola la media. === Misura della velocità istantanea (in verità media) del pesetto quando transita nelle posizioni dell’esperimento precedente. ===

Sull’asta questa volta viene fissato un solo traguardo laser ed il cronometro deve essere posizionato sul simbolo ┌───┐ che lo fa partire quando il pesetto apre il circuito e lo ferma quando passato il pesetto il circuito si richiude. Sapendo le dimensioni del pesetto ed il suo tempo di transito si riesce a calcolare la velocità media.

Determinare l’equazione oraria del moto esaminato

Elaborazione dei dati sperimentali L’elaborazione dei dati può essere: a) manuale b) al computer La prima deve precedere sempre la seconda. Su un foglio di carta millimetrata si riportano i tempi sulle ascisse e gli spazi sulle ordinate. Gli errori sui tempi potrebbero non essere apprezzabili mentre lo sono gli errori sulle distanze.

Effettuare la misura indiretta dell’accelerazione di gravità

Facendo un grafico della velocità in funzione del tempo, ci aspettiamo un andamento lineare come previsto dalle equazioni finali nel paragrafo precedente. Dato che $v_0=0$, ci aspettiamo una retta passante per l'origine con pendenza uguale a $g$. Quindi, trovando la retta che meglio approssima i dati sperimentali possiamo stimare l'accelerazione di gravità.

Il pendolo

Questo esperimento permette di calcolare l'accelerazione $g$ di un corpo in caduta libera tramite le oscillazioni di un pendolo semplice. Il pendolo semplice è un sistema fisico costituito da un filo inestensibile e da una massa puntiforme $m$ fissata alla sua estremità e soggetta all'attrazione gravitazionale. Per maggiori informazioni è possibile consultare la pagina Il pendolo nella sezione strumenti.

Schematizzazione del pendolo semplice Wikipedia
Diagramma delle forze per il pendolo semplice. Immagine daYouMath

Trascurando la massa del filo e supponendo che il pendolo compia piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio (approssimazione di piccoli angoli) è possibile mostrare che il periodo ($T$), cioè il tempo impiegato dal pendolo per compiere un'oscillazione completa è

$$T=2π\sqrt \frac{L}{g}$$,

dove $L$ è la lunghezza del pendolo. È immediato ricavare l'accelerazione di gravità a partire dal periodo $T$

$$g=\frac{4\pi^2}{T^2}\times L$$.

Per misurare il periodo è possibile utilizzare un cronometro. Dal punto di vista sperimentale è fortemente consigliabile, per minimizzare l'errore dovuto alla misura del filo o all'avvio e allo stop del cronometro, far oscillare il peso più volte e misurare il tempo totale di osservazione. Il tempo totale di osservazione deve essere poi diviso per il numero di oscillazioni per ottenere il periodo del pendolo. Supponiamo, per esempio, di misurare il tempo di 10 oscillazioni, il tempo $t$ ottenuto deve essere diviso per 10 e questo permette di ottenere il periodo con un errore sperimentale più piccolo di 1/10.

Di seguito sono riportati vengono riportati a titolo esemplificativo i risultati di 10 serie di 30 oscillazioni:

$t$($30$ oscillazione) $t$($1$ oscillazione) $\Delta T$ $T^2$ $ΔT^2$ $g$ $\Delta g$
1)36,83 1,22 0,01 1,51 0,02 9,41 0,15
2)36,42 1,20 0,01 1,45 0,02 9,80 0,16
3)36,46 1,21 0,01 1,47 0,02 9,66 0,16
4)36,08 1,20 0,01 1,44 0,02 9,86 0,16
5)35,86 1,19 0,01 1,42 0,02 10 0,16
6)36,80 1,22 0,01 1,50 0,02 9,47 0,15
7)35,94 1,19 0,01 1,43 0,02 9,93 0,16
8)36,44 1,21 0,01 1,47 0,02 9,66 0,16
9)35,97 1,19 0,01 1,42 0,02 10 0,16
10)35,75 1,19 0,01 1,41 0,02 10,07 0,16

Nella tabella si sono calcolati i $T^2$ di tutti i periodi trovati e poi le incertezze: come errore per questa media prendiamo il valore massimo e il valore minimo, li sottraiamo e li dividiamo per 2.

$$\Delta T^2= \frac{T^2_{max}-T^2_{min}}{2}$$

È possibile propagare l'errore del periodo $\Delta T$ e della lunghezza del filo $L$ sull'accelerazione di gravità $g$ tramite la formula

$$\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta L}{L}+2\frac{\Delta T}{T}$$ La precisione con cui si può calcolare $g$ dipende dalla precisione con cui si misurano il periodo $T$ e la lunghezza $L$. Per mantenere la precisione di $L$ e di $T$ intorno allo $0.1 %$. Per fare questo, una scelta opportuna di lunghezza potrebbe essere intorno a $1 \ m$.

Per calcolare l'accelerazione di gravità è, inoltre, possibile variare la lunghezza del filo $L$ e misurare il periodo. Il coefficiente angolare del grafico $T^2$ in funzione di $L$ è $$\frac{4\pi^2}{g}$$ da cui è immediato ricavare l'accelerazione di gravità.

Un altro metodo con il quale si può misurare l'accelerazione gravitazionale $g$ è tramite Arduino. Facendo oscillare un pendolo tra un LED ed un fotoresistore collegati entrambi ad Arduino, si misura il periodo di oscillazione tenendo in considerazione la variazione luminosa che il fotoresistore legge ogni volta che il pendolo eclissa la luce del LED. Di seguito viene riportato il codice utilizzato (periodo_pendolo.rtf.)

scheda_di_laboratorio_esperimento_con_il_pendolo.docx

foglio_elettronico_e_altri_suggerimenti_per_il_docente.docx

La molla

Rappresentazione dell'apparato sperimentale con schema delle forze. Immagine da chimica-online

Nel seguito ci concentreremo principalmente sulla misura di $g$. Fare riferimento alla pagina Legge di Hooke per maggiori informazioni sul funzionamento della molla.
Appendendo tramite l'apposito supporto (porta masse) un corpo di massa $m$ ad una molla di costante $k$ posta verticalmente, noteremo che la molla subisce uno spostamento dalla posizione di equilibrio a causa della forza peso. Uguagliano la forza elastica e la forza peso, trascurando la massa della molla e supponendo che il corpo di massa $m$ sia un punto materiale si trova la nuova configurazione di equilibrio: $$l=l_0+\frac{mg}{k}$$ dove $l_0$ è la lunghezza a riposo della molla. Il fatto che $l$ sia maggiora di $l_0$ è dovuto alla scelta del sistema di riferimento, in questo caso orientato verso il basso. Dalla precedente relazione possiamo calcolare $g$ come $$g=\frac{k(l-l_0)}{m}.$$ Conoscendo la costante elastica della molla e la lunghezza a riposo possiamo ricavare l'accelerazione di gravità $g$. Avendo a disposizione corpi di massa diversa è consigliabile ripetere il procedimento più volte e misurare per ogni massa il diverso allungamento $\Delta l\equiv l-l_0$. Possiamo calcolare il valore di $g$ per ogni massa $m$ e poi fare una media dei vari valori oppure, come è consigliabile, procedere per via grafica. Possiamo realizzare un grafico dove sull'asse $x$ poniamo la massa $m$ e sull'asse $y$ l'allungamento $\Delta l$. Ci aspettiamo che la curva che meglio approssima l'andamento dei dati sperimentali sia una retta con pendenza $\frac{g}{k}$. Dunque, estrapolata la miglior retta possiamo ricavare il coefficiente angolare e conoscendo il valore di $k$ possiamo trovare $g$.
La costante elastica e la lunghezza a riposo sono solitamente fornite dal costruttore. Nel caso in cui non si hanno a disposizione queste grandezze possiamo misurarle. La lunghezza a riposo si può ottenere facilmente con un righello, mentre la costante elastica si può calcolare seguendo le considerazioni della pagina Legge di Hook. La configurazione descritta sopra (corpo appesa alla molla in equilibrio) può essere perturbata con un piccolo spostamento del corpo verso il basso, cioè tirando ulteriormente la molla. Quando la molla viene lasciata libera, questa cercherà di tornare nella configurazione di equilibrio iniziando ad oscillare intorno ad essa similmente a quello che avviene in un pendolo. In assenza di attriti, il moto è infinito e periodico. Il periodo di oscillazione dipende da $k$ secondo la relazione: $$ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$ da cui $$ T^2=\frac{4\pi^2}{k}m.$$ Per diverse masse possiamo allora misurare il periodo di oscillazione $T$. Facendo un grafico di $T^2$ in funzione di $m$ otteniamo un andamento lineare, in cui la retta ha pendenza $\frac{4\pi^2}{k}$. Dalla pendenza della retta possiamo ottenere quindi il valore di $k$.

scheda_di_laboratorio_esperimento_con_la_molla.docx

foglio_elettronico_e_altri_suggerimenti_per_il_docente_molla.docx

Piano Inclinato

Il piano inclinato è una macchina semplice costituita da una superficie piana disposto in modo da formare un angolo compresa fra $0$ e $90^\circ$ rispetto la verticale. Considerando il piano ideale, e trascurando quindi gli attriti, possiamo scrivere per il secondo principio della dinamica che $$a_{//}=g\sin\theta$$ dove $a_{//}$ è l'accelerazione del corpo, e $\theta$ è l'angolo di inclinazione. Potendo misurare l'accelerazione del corpo in caduta è possibile stimare $g$ come $$g=\frac{a_{//}}{\sin\theta}$$ Il piano inclinato consente quindi la misura di $g$.
Alternativamente, possiamo esprimere $g$ in funzione della velocità del carrello a fine corsa. Supponiamo di lasciare libero di muoversi un carrello posto fermo su un piano inclinato ad un'altezza $h$ all'istante $t_0$. Supponendo che l'attrito sia trascurabile, ci aspettiamo che il carrellino inizi a scendere lungo il piano. Utilizzando la conservazione dell'energia meccanica, possiamo prevedere la velocità finale del carrello. Infatti, vale

$$E_{in}=E_{fin}\Rightarrow U_{in}=K_{fin}$$

dove $U_{in}$ è l'energia potenziale gravitazionale iniziale, $K_{fin}$ è l'energia cinetica finale, sia assume $U_{fin}=0$ per comodità e $K_{in}=0$ perché il corpo è fermo inizialmente. Quindi, ricordando che $U=mgh$ dove $m$ è la massa del carrellino e $g$ è l'accelerazione di gravità e che $K=\frac{1}{2}mv^2$ dove $v$ è la velocità del carrello, si trova

$$g=\frac{v^2}{2h}.$$ Trovando una nuova espressione per $g$.

Esperimenti @Home

Di seguito vengono riportati possibili esperimenti realizzabili a casa tramite i sensori di un comune smartphone.

Esperienze Descrizione
Velocità di impatto e caduta libera Misura di $g$ tramite la velocità di impatto.
tempo di volo e caduta liberaMisura di $g$ tramite il tempo di volo di un oggetto in caduta libera.
Misura acustica tempo di voloMisura di $g$ tramite il tempo di volo di un oggetto in caduta libera con sensore acustico.
Pendolo sempliceMisura di $g$ tramite un pendolo.
Piano inclinatoMisura di $g$ tramite lo scivolamento di un punto materiale su un piano inclinato.
Cilindro su un piano inclinato Misura di $g$ tramite il rotolamento di un corpo rigido su un piano inclinato.

Strumenti

Caduta dei gravi

Strumenti necessari Descrizione
Strumento per la misura della caduta dei gravi Lo strumento propone di misurare la caduta libera di un grave con velocità iniziale uguale a zero

Pendolo

Strumenti Descrizione
Pendolo Pendolo semplice: strumento costituito da un filo inestensibile (e “privo di massa”), attaccato verticalmente ad un piano rigido, e da una massa $m$ posta all'estremità del filo.
Cronometro Orologio progettato per avere elevata accuratezza e precisione.
Metro Strumento usato per la misurazione di lunghezze avendo una scala di riferimento espressa in metri.

Molla

Strumenti necessari Descrizione
MollaStrumento elastico per accumulo di energia meccanica
Porta MasseStrumento di supporto per le masse
MasseStrumenti utili per la misura della forza peso
CronometroStrumento di misura del tempo
MetroStrumento di misura delle lunghezze
Asse d'AcciaioStrumento intorno al quale si compie la rotazione di un corpo rigido
Morsetto da TavoloStrumento fissato a tavolo per bloccare oggetti
Morsetto blocca asteStrumento che svolge funzione di serraggio per le aste
bilanciaStrumento per la misura della massa

Piano Inclinato

Strumenti necessari Descrizione
Piano inclinatoStrumento per lo studio della caduta dei gravi e dell'attrito dinamico

Schede Didattiche

Link Note
Misura dell'accelerazione di gravità attraverso stima della costante elastica Misura dell'accellerazione di gravità tramite l'utilizzo di una molla.
PendoloMisura dell'accelerazione di gravità attraverso il periodo del pendolo
Piano InclinatoVari esperimenti con il piano inclinato: non tutti si concentrano sul calcolo di $g$

Sitografia

Link Descrizione
Accelerazione di gravità Descrizione funzionamento
Museo virtuale di fisica Accelerazioni gravità
Youtube Esperimento caduta gravi
Youtube Moto armonico semplice
Chimica OnlineEsercizio moto pendolo
Misurazione dell'accelerazione di gravità mediante il pendolo Sito che raccoglie esperienze didattiche di studenti
YouTube Misura dell'accelerazione di gravità
YouTube Misurare il periodo di un pendolo
Chimica-online Teoria del periodo di un pendolo
YouTube Misurazione periodo con cronometro e incertezze
fmboschettoEsperimento sull'accelerazione di gravità mediante il pendolo


fisica/esperienze/accelerazione_di_gravita.txt · Ultima modifica: 2022/11/19 13:05 da luca.addiucci